通信原理樊昌信第六版_第10章

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通信原理1

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通信原理第10章 数字信号最佳接收

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第10章 数字信号最佳接收

10.1数字信号的统计特性

以二进制为例研究接收电压的统计特性。 假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其 其发送概率分别为P(0)和P(1),则有

单边功率谱密度为n0;并设发送的二进制码元为“0‖和“1‖,

P(0) + P(1) = 1

若此通信系统的基带截止频率小于fH,则根据低通信号抽样 定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求

不小于其奈奎斯特速率2fH。

设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽 样值：,则有k = 2fHTs。3

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第10章 数字信号最佳接收

由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维 概率密度可以写为 ni2 f (ni ) exp 2 2 2 n n 1

式中， n - 噪声的标准偏差；

n2 - 噪声的方差，即噪声平均功率；i =1,2,…,k。

设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为f k (n1 , n2 , , nk )

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第10章 数字信号最佳接收

由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性 系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速

率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此k 维联合概率密度函数可以表示为

f k (n1 , n2 , , nk ) f (n1 ) f (n2 ) f (nk )

k

1 2 n

k

1 exp 2 2 n

ni2 i 1 k

当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可 以表示为：

1 k 2 1 ni 2f T k i 1 H s

ni2 i 1

或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成

1 Ts

Ts

0

n (t )dt 2

1 2 f H Ts

ni2 i 1

k

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第10章 数字信号最佳接收

利用上式关系，并注意到2 n n0 f H

式中 n0 - 噪声单边功率谱密度 则前式的联合概率密度函数可以改写为： 1 Ts 2 1 f (n) exp n (t )dt k n0 0 2

n

式中

f (n) f k (n1 , n2 , , nk ) f (n1 ) f (n2 ) f (nk )

n = (n1, n2, …, nk) - k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个 抽样值。

需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t),但是 后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维

矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。6

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第10章 数字信号最佳接收

在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k(它和 系统带宽有关)给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能 量： Ts n 2 (t )dt 0

由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量 都是不同的，这就使被传输的码

元中有一些会发生错误，而 另一些则无错。

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第10章 数字信号最佳接收

设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和: r(t) = s(t) + n(t)

则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声 决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 n2,但是均值变为 s(t)。所以，当发送码元“0‖的信号波形为s0(t)时，接收电压 r(t)的k维联合概率密度函数为f 0 (r )

1 2 n

k

1 exp n0

0 r (t ) s0 (t ) dt Ts 2

式中 r = s + n — k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽 样值； s - k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。8

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第10章 数字信号最佳接收

同理，当发送码元“1―的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k 维联合概率密度函数为f1 (r )

1 2 n

k

1 exp n0

Ts

0

r (t ) s1 (t ) dt 2

顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送s1, s2,…,si,…,sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元 是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为f i (r )

1 2 n

k

1 exp n0

Ts

0

r (t ) si (t ) dt 2

仍需记住，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函 数，并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个 矢量。 9

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第10章 数字信号最佳接收

10.2 数字信号的最佳接收

“最佳”的准则：错误概率最小 产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在 二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最 小。 判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1‖的概率为P(1), 发送码元“0‖的概率为P(0),则总误码率Pe等于 Pe P(1) Pe1 P(0) Pe0 式中 Pe1 = P(0/1) - 发送“1‖时，收到“0‖的条件概率； Pe0 = P(1/0) - 发送“0‖时，收到“1‖的条件概率；

上面这两个条件概率称为错误转移概率。

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第10章 数字信号最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可 以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判 决，判定它是发送码元“0‖,还是“1‖。 由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画 在下图中(在图中把r 当作1维矢量画出。):A0f0(r) P(A0/1) r0 A1 f1(r)

P(A1/0)

r

可以将此空间划分为两个区域A0和A1,其边界是r0 ,并将判 决规则规定为： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0‖; 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1‖。11

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第10章 数字信号最佳接收显然，区域A0和区域A1是两个 互不相容的区域。当这两个区f0(r) P(A0/1)

r0 r A0 A1 f1(r)

域的边界r0 确定后，错误概率也随之确定了。 这样，总误码率可以写为

P(A1/0)

Pe P(1) P( A0 / 1) P(0) P( A1 / 0)式中，P(A0/1)表示发送“1‖时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0‖时， 矢量r落在区域A1的条件概 率 这两个条件概率可以写为：P( A1 / 0) f 0 (r )dr P( A0 / 1) f1 (r )drA0

A1

这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。

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第10章 数字信号最佳接收将上两式代入 Pe P(1) P( A0 / 1) P(0) P( A1 / 0) 得到Pe P(1) f1 (r )dr P(0) f 0 (r )drA0 A1

参考上图可知，上式可以写为

Pe P(1) f1 (r )dr P(0) ' f 0 (r )dr r0 上式表示Pe是r0 的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点r0 ,将上式对r0 求导 并令导函数等于0, 求出最佳分界点r0的条件：P(1) f1 (r0 ) P(0) f 0 (r0 ) 0f0(r) P(A0/1) r0 r 13

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