东南大学 概率论1-5

概率论与数理统计课件

例、 甲，乙两人各出8元赌注，采用抛硬币作 为赌博手段。正面向上甲得1分，反面朝上乙 得1分，谁先达到预先规定的分数就获得全部 的16元赌注。当甲差2分，乙差3分时他们不 愿意再赌下去，请问如何公平的分配这16元 赌注？

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例、 掷骰子游戏，玩家连续掷 4 次骰子，如 果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一 次 6 点，则庄家(相当于现在的赌场)赢。 玩家用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出 现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。请教当时 的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解 释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

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第一章 随机事件及概率 随机事件 随机事件的概率 等可能概型 条件概率 事件的独立性

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§1.1 随机事件 1.1.1 随机试验随机现象：在一定条件下，事先不能断言会出

现哪种结果，这种现象称为随机现象。例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情

况。4

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随机试验必需满足：(1)在相同条件下，可以进行大量次重复试 验。――可重复性 (2)每次试验中可以出现不同的结果，而不 能预先知道发生哪种结果。――偶然性 (3)试验中一切可能出现的结果可以预先知

道。--必然性(统计规律性)随机试验一般用字母E表示。5

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例1 E1:掷一枚硬币，观察其正面(H)和反 面(T)出现的情况。试验的条件是掷一枚 硬币，条件实现(一枚硬币掷出)就完成一 次试验。 例2 E2:将一枚硬币掷2次，观察正、反面出 现的情况。试验的条件就是把硬币掷2次，条件

实现(硬币掷了2次)就完成一次试验。

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例3 E3:从含有2个黑球 a1 , a2 和3个白球 b1 , b2 , b3 的盒子中任意的取出3个球，观察取出的球； 条件实现(从5个球中取出3个)就完成试验。 例4 E4:把2个球a和b任意的放入3个盒子中

(每个盒子可以放任意多个球),观察球在 盒子中的放法。

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例5

E5:记录某网站在1分钟内的点击次数。

例6

E6:观察某厂生产的灯泡的使用寿命t。

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1.1.2 随机事件 随机事件：一个随机试验E中可能发生也可能

不发生的事件称为该试验的随机事件(简称事件)通常用字母A、B、C等表示。 基本事件：试验E的每一可能的结果叫做基本 事件 ，一般用ω 表示。 样本空间：基本事件的全体组成的集合称为 该试验的样本空间。9

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必然事件：每次试验中必然发生的事件称为必然事件，记为Ω。 不可能事件：每次试验中不可能发生的事件 称为不可能事件，记为Φ 。注 意 (1)样本空间的构成是由试验的条

件和观察的目的所决定。10

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(2)基本事件是事件的一种;一般的事件是由若干个基本事件共同组成的，

因而是样本空

间的子集，通常又称其为复合事件。(3)随机事件的另一个定义：样本空间Ω 的 某个子集。事件A发生当且仅当试验中出现A 的某个基本事件。

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1.1.3 事件之间的关系及其运算 (1)事件的包含关系

定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为:B A或A B。 结论：若事件A B且A B,则称事件A和事 件B相等，记为A=B。即：事件A、B所包含 的基本事件是一样的。12

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(2)事件的并 定义：事件A,B至少有一个发生，称为事 件A与B的和(或称为并),记为A∪B (3)事件的交定义：2个事件A,B都发生，称为事件A与B 的交(或积),记为A∩B(或AB)。 (4)事件的差 定义 ：“事件A发生而事件B不发生”也是一

个事件，称为A与B的差。记为A-B。13

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(5)事件的互不相容性定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时 发生，即AB=Ф,则称事件A、B是互不相容 的事件。 结论：从基本事件说，互不相容事件就是没 有公有的基本事件。显然，在一次试验中， 两个基本事件不能同时发生，所以任何两个 基本事件都是互不相容事件。14

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(6)逆事件定义：若A∪B=Ω ,AB=Ф,则称A、B为 相互对立的事件(简称互逆),事件A的逆事

件又可记为 A 。结论：A、B互逆 A、B互不相容 A、B互不相容； A、B互逆。

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(7)事件的运算规律交换律：A∪B=B∪A,AB=BA 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C), (AB)C=A(BC) 分配律：(AB)∪C=(A∪C)· (B∪C) , (A∪B)C=(AC)∪(BC) 德摩根公式： A B A BA B A B16