第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度)

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高等数学A第6章多元函数微分学6.1 多元函数微分的基本概念6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

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6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度方向导数定义引入

6.1.6 方向导数 方 向 导 数 梯 度

方向导数定义 方向导数存在定理 方向导数的计算习例定义 方向导数与梯度的关系

6.1.7 梯 度

梯度的几何意义梯度的基本运算公式 习例6-7

小 结

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6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度一、方向导数1. 方向导数定义引入 函数的导数就是函数的变化率. f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 比如, y = f (x), f ( x0 ) lim x 0 x 0 x x 如图所示 y 其中, y是函数改变量,

y 就是平均改变量. 即 x 平均变化率.o

y = f ( x)

y

x<0 x0+ x x0

x>0 x0+ x

x

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f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x

yy = f ( x) y

表示在 x0处沿 x 轴正方向 的变化率.

x<0

x>0 x0+ x

o

x0+ x x0

x

f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x

表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.

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又比如, z = f (x, y), 偏导数f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x

f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向 的变化率.

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如图 zz f ( x0 , y )

y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )

ox0

y( x 0 , y0 )

y

x

( x0 , y0 y)

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yz f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) 特别, lim lim y 0 y y 0 y

表示在 (x0, y0)处沿 y 轴正方向的变化率. yz f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) 而, lim lim y 0 y y 0 y

表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.

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但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.

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把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念. z 1 : z = f ( x, y0 )M0

1

z = f ( x, y)

oX0

y0

y即 f ‘x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切 线对 x 的斜率.

x T1

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z 2M0

2 : z = f ( x0 , y )z = f ( x, y)

x0

oX0

T2

y

x

即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.

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如图

zM0

o

N

M l

yX = (x0+ x, y0+ y)

X0=(x0, y0)

x

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2. 方向导数定义 定义 设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某邻域U(x0)内有定义.

zM0

以 X0 为端点引射线 l , 其单位方 向向量为 e = (cos , cos ), 设X = (x0+ x, y0+ y)是 l 上另一点.x

o

N

M l

y

X0=(x0, y0)

X = (x0+ x, y0+ y)

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z

若当 X 沿 l 趋于 X

0 时,对应的函数改变量与线0 0

段X X的长 || X X ||的比值f (X ) f (X0) || X 0 X ||

M0

o x

N

Ml

y

的极限存在.

X0=(x0, y0) X = (x0+ x, y0+ y)

则称它为 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)

沿 l 的方向导数.

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f ( X 0 ) f ( x0 , y0 ) 记作 , . l l f ( X 0 ) f ( x0 , y0 ) 或 , . e e f ( x0 , y0 ) 即 l f (X ) f (X0) lim X X0 || X 0 X ||

zM0

o

N

M l

y

X0=(x0, y0)

x

X = (x0+ x, y0+ y)

沿l

f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) 2 2 lim , 其中 x y . 2 2 0 x y沿l

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注 1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上, 且X 沿 l 趋向于X0 . 另外比值 的分母大于0. 如图 yl X = (x0+ x, y0+ y) y

f (X ) f (X0) || X 0 X ||

o

x X0=(x0, y0)

x

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2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),

f ( x0 , y0 ) l

lim

f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x 2 02f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) | x |

0

lim

| x| 0

lim

f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x

x 0

f x ( x0 , y0 )