2013届高考文科数学一轮复习考案9.2 平面与空间两条直线

§9.2 平面与空间两条直线 考纲解读 知识盘点 命题预测

基础拾遗技巧归纳 例题备选

典例精析

真题探究

考 1

点

考纲解读 了解平面的概念及表示方法,尤其明确平面 具有的无限延展性;要求掌握平面的三个公

平面的基本性质

理及其推论.2 空间两条直线的位置关系 了解空间两条直线的三种位置关系:平行、 相交、异面. 3 空间直线和平面的位置关 系 4 平行公理和等角定理 了解平行公理和等角定理在立体几何中的 证明和计算中的应用.考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

了解空间直线和平面的三种位置关系.

重点考查三个公理及其推论,因为三个公理及其推论是立体几何的 奠基石,所以常出现在判断性的选填题及解答题的证明过程中.判断 异面直线主要是考查定义法,当然,也要了解一下反证法.对于直线和 平面的位置关系问题,要求能做出正确的判断就行.对于平行公理和 等角定理,考查的是转化的能力.

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1.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有

的点都在这个平面内.公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1:过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一 条过该点的公共直线.考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

2.两条直线的位置关系 (1)相交直线:在同一个平面内,有且仅有一个公共点. (2)平行直线:在同一个平面内,没有公共点. (3)异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. (4)异面直线所成的角:如图所示,直线a,b是异面直线,经过空间任一 点O,分别做引直线a'∥a,b'∥b,相交直线a'和b'所成锐角(或直角)叫 做异面直线a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角, 则称 这两条异面直线互相垂直.

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3.平行公理与等角定理 (1)平行公理(公理4):平行于同一直线的两条直线互相平行. (2)等角定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补.

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1.(2011年福州二检)给出下列四个命题:①没有公共点的两条直线平 行;②互相垂直的两条直线是相交直线;③既不平行也不相交的直线 是异面直线;④

不同在任一平面内的两条直线是异面直线.其中正确 的命题个数是 ( (A)1. (B)2. ) (C)3. (D)4.

【解析】①中可以是异面直线,②中可以是异面直线,③④正确. 【答案】B

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2.(2011年济宁一模)已知空间中有三条线段AB、BC和CD,且∠ABC =∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 ( )

(A)AB∥CD.(C)AB与CD相交.

(B)AB与CD异面.(D)以上三种都可能.

【解析】若三条线段共面,如果AB、BC、CD构成等腰三角形,则直 线AB与CD相交.否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD异 面. 【答案】D

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3.在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点,则以这4个顶点为 顶点构成的几何体可能是:①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三 个面为直角,一个面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角 形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.其中正确结论的序 号是( ) (B)①②④⑤. (D)①②③④.

(A)①③④⑤. (C)①②③⑤.

【解析】只有②不正确,④正确,如取四面体ACD1B1,⑤可取四面体如A1ABC. 【答案】A考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

4.(2010年福建模拟)空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,若AC+BD=a,AC· BD=b,则EG2+FH2= 【解析】EG2+FH2=2(EF2+EH2) = 2+BD2)= (AC [(AC+BD)2-2AC· BD]1 1 2 2

.

= -2b)= (a -b.12

a

2

2

2

【答案】 -ba 2

2

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例1 求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面. 【分析】题意可转化为已知:直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:直线a,b,c和l共面.

【解析】如图.因为a∥b,由公理2可知直线a,b可确定一个平面,设为 α.考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈α,B∈α,可知l α. 因为b∥c,由公理2可知直线直线b,c可确定一个平面,设为β.同理可 知l β.据此.可知平面α与β都包含直线b和l,且l∩b=B.而经过两条相 交直线有且仅有一个平面,所以说明平面α与β重合.因此直线a,b,c和l 共面. 【点评】(1)证明点线共面的主要依据:公理1、公理2及其推论.(2) 证明点线共面的常用方法:①纳入平面法:先由公理2或其推论确定 一个平面,再由公理1证明有关点线在此平面内;②辅助平面法:先证 明有关的点线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面 α、β重合.考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真

题探究 基础拾遗 例题备选

变式训练1 过直线外一点P分别引两条直线PA、PB和直线l分别交于A、B两点.求证:三条直线PA、PB和l共面.

【解析】如图.因为由两条交线PA、PB可确定一个平面α,所以A∈ α,B∈α,可知l α,所以,三条直线PA、PB和l共面.

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题型2 空间两条直线的位置关系

例2 (1)分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( )

(A)一定平行.(C)一定异面.

(B)一定相交.(D)相交或异面.

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基础拾遗 例题备选

(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ( (A)一定相交. (C)相交或异面. (B)一定异面. (D)相交、异面、平行.

)

【分析】应充分考虑所有可能存在的情况. 【解析】(1)相交或异面.作出如下图示.

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基础拾遗 例题备选

如图(1),分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交直线;如图 (2),分别和两条异面直线a、b平行的两条直线c、d是异面直线.综上 可知,应选D.考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选