《高考数学第一轮复习课件》第22讲_简单的三角恒等变换

来源：网络收集时间：2026-08-25

导读：新课标高中一轮总复习理数第四单元三角函数与平面向量第22讲简单的三角恒等变换能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换. 1.在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(AB)sinB≥1,则△ABC是( A ) A.直角三角形 C

新课标高中一轮总复习

理数

第四单元

三角函数与平面向量

第22讲简单的三角恒等变换

能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换.

1.在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(AB)sinB≥1,则△ABC是( A ) A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形

由两角和的正弦公式得sinA≥1. 由弦函数有界性知，sinA=1,得A=90°.

2.化简： 1 sin8 A.-sin4 C.sin4-2cos4 原式=

1 cos 8 2

=( B )

B.2cos4-sin4 D.2sin4-cos41 2i c s sn o 42 cos 4 22

=|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos4<0,cos4<0,所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.

3.化简： - cos2x+ 1 cos4x= sin4x .8

23 8 1

原式==3 4 3 4

- 2 (2cos2x-1)+ 8 (2cos22x-1) (2cos2x-1)2

-cos2x+ cos22x

-cos2x+

4 1 4

=1-2cos2x+cos4x =(1-cos2x)2=sin4x.

4.若A-B=

,tanA-tanB=3 4

2 3

则cosA· cosB=

.tan A tan B 1 tan A tan B

tan(A-B)=

所以1+tanA· tanB=2, 即c sAc sB snAsn o o i i B c sAc sB o o 1

=2,3 4

所以cosA· cosB=

cos(A-B)=

5.化简：tanα+tanβ+tanα· tanβ· tan(α+β) = tan(α+β) .由tan(α+β)=tan tan

1 tan tan

可得tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα· tanβ),所以tanα+tanβ+tanα· tanβ· tan(α+β)=

tan(α+β).

三角变换的基本题型——化简、求值和证明 (1)化简. 三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值. 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.

(2)求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.

①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角)之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.

③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角. (3)证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.

典例精讲题型一恒等变换下的化简求值例1 已知：tan2θ=求2 cos2

2,2θ∈(

,π),2

s in 1

的值.

2 s i n (

)

tan2θ=解得tanθ=因为2θ∈(2



2 ta n 1 t a n =- 22

2 2

或tanθ=

, 2 , ),所以 4 2

,π),所以θ∈( .2

tanθ>0,所以tanθ=2 cos

件可不可以变形或化简，然后看所求式子 2(s c s c s s in o o i

n ) 2 s i n ( ) 4 4 4 能否化简，再看它们之间的相互联系，通 1 2 cos sin = 过分析找到已知与所求的纽带. = = 2 2 3 sin cos

s in 1 c s s o in 点评对于附加条件求值问题，要先看条 2 =

题型二恒等变换下的拆角求值例2 已知cos(α 2 2

)=- ,sin( 2 -β)=9 的值. 2

2 3

,且

<α<π,0<β<π,求cos

分析抓住已知角(α的关系：2

),( -β)与目标角 -β),因此先求2

=(α-

)-( 2

得sin(α- ),cos(

-β)的值，再代公式.2

因为

<α<π,0<β<π,< -β< 421 93

所以0<α- <π,

. 2

2 2 3

又因为cos(α- )=- <0,sin( -β)= >0,所以 <α2 2

<π,0< -β< 221 cos ( 2

所以sin(α- )== =1 ( 1 9 )2

)

4 9

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