2018版高中数学人教B版必修一学案：3-2-2 第2课时 对数函数及其

第2课时 对数函数及其性质的应用

[学习目标] 1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用

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[知识链接]

对数函数的图象和性质

要点一 对数值的大小比较

例1 比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln 0.3，ln 2；

(2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)；

(3)log 30.2，log 40.2；

(4)log 3π，log π3.

解 (1)因为函数y ＝ln x 是增函数，且0.3＜2，

所以ln 0.3＜ln 2.

(2)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2； 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2.

(3)方法一 因为0＞log 0.23＞log 0.24，

所以1log 0.23＜1log 0.24

，即log 30.2＜log 40.2.

方法二 如图所示

由图可知log 40.2＞log 30.2.

(4)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1.

同理，1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3.

规律方法 比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性.

1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.

2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图象，再进行比较.

4.若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.

跟踪演练1 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )

A.a ＞c ＞b

B.b ＞c ＞a

C.c ＞b ＞a

D.c ＞a ＞b

(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )

A.a ＞b ＞c

B.a ＞c ＞b

C.b ＞a ＞c

D.c ＞a ＞b

答案 (1)D (2)B

解析 (1)利用对数函数的性质求解.

a ＝log 32＜log 33＝1；c ＝log 23＞log 22＝1，

由对数函数的性质可知log 52＜log 32，∴b ＜a ＜c ，故选D.

(2)a ＝log 23.6＝log 43.62，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a ＞c ＞b ，故选B.

要点二 对数函数单调性的应用

例2 求函数y ＝log 21(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值.

解 要使y ＝log 2

1(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，

∴x 2＜1，即－1＜x ＜1，

因此函数的定义域为(－1,1).

令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).

当x ∈(－1,0]时，若x 增大，则t 增大，y ＝log 2

1t 减小，

∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 2

1(1－x 2)是减函数；

同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 2

1(1－x 2)是增函数

.

故函数y ＝log 21(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 2

1(1－02)＝0.

规律方法 1.求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f (x )＞0，先求定义域.

2.求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；(2)借助函数的性质，研究函数t ＝f (x )和y ＝log a t 在定义域上的单调性，从而判定y ＝log a f (x )的单调性.

跟踪演练2 (1)函数f (x )＝|log 2

1x |的单调递增区间是( )

A.???

?0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞)

D.[1，＋∞) (2)设函数f (x )＝?????

21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A.[－1,2]

B.[0,2]

C.[1，＋∞)

D.[0，＋∞) 答案 (1)D (2)D

解析 (1)f (x )＝????? －log 21x ，x ≥1，log 21

x ，0＜x ＜1.

当x ≥1时，t ＝log 21x 是减函数，f (x )＝－log 2

1x 是增函数.∴f (x )的单调增区间为[1，＋∞).

(2)f (x )≤2?????? x ≤1，21－x ≤2或?????

x ＞1，1－log 2x ≤2 ?0≤x ≤1或x ＞1，故选D.

要点三 对数函数的综合应用

例3 已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1

(a ＞0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；

(2)判断函数的奇偶性和单调性.

解 (1)要使此函数有意义，

则有????? x ＋1＞0，x －1＞0或?????

x ＋1＜0，x －1＜0. 解得x ＞1或x ＜－1，

此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).