解非线性方程组的一个改进牛顿法

这是线性方程组的一些论文,可供数学专业本科生论文写作参考之用。

第2 3卷第 1期 20 0 9年 1月

甘肃联合大学学报 (自然科学版 )J un l f n uLin eUnv riy ( t r l ce c s o r a o Ga s a h ie st Na u a in e ) S

Vo . 3 No 1 12 .

Jn 0 9 a .2 0

文章编号：17 -9 X(0 9O一160 6 26 1 2 0 )l0 1—3

解非线性方程组的一个改进牛顿法马成业黄世华，(.州理工大学理学院，肃兰州 70 5;.肃联合大学数信学院，肃兰州 70 7 ) 1兰甘 3 00 2甘甘 3 0 0摘要：对牛顿法公式的局限性，用非线性方程组 F(= 0的一个同解方程组的牛顿法公式，造了求解针利 )构非线性方程组 F z一 0的一个迭代法公式，顿法迭代公式是其特例，讨论了其收敛性，过算例说明了算 ()牛并通法的有效性 .

关键词：线性方程组；代法；顿迭代公式；敛性 非迭牛收中图分类号： 4 022文献标识码： B

0引言现实中的一些问题可转换为求非线性方程组的数值解的问题，代法是求解非线性方程组的迭常用方法，同的迭代准则可构造不同的迭代公不

z

( l z,, n . z,2… X )

假设 F: R一在 F( )零点。 DC” z的的某个邻域内 G可微.令G( )一 (g工^ ( ) z e( l z,e ‘

’ 2,,厂()…() 3

( ) z),

式.牛顿迭代法是基于泰勒展式构造的经典迭代公式，由于其形式简单而且是二阶收敛的，求解是非线性方程组 F( ) z一O近似解的典型方法 .¨但是当初值的选取不当或 F(的雅可比矩阵 D ) F ( )奇异的或者接近于奇异时，顿迭代法可 z是牛能导致数据溢出或者不收敛 .了解决此问为

显然方程组 ( )方程组 G(一0等价，函数 2与 z)且 F( ) G( )可微性相同， z与 z的取合适的 g ( ) z (一

12…,,,, )使得 G(的雅可比矩阵 D x是非 ) G( )奇异的，可得DG ( x)= da (￣ ) ig g‘z )q ig e, da ( ( i -DF( )‘ ) .

应用牛顿法求解方程组 G( ) z一0即有z抖

1= z( ( )=: )一 ( DG( ) x‘ )= z‘一 G( )’

题，需要对牛顿法公式加以改进. E 3用非线文 4利性方程厂 z一0的同解方程㈤厂 z一 0的牛 () ()

‘ D一 ( i ( (: ) ( )+ da giz ) g’DF( ) - F(‘ .‘ ) 1 z ) () 4

顿法公式，造了一类迭代公式，于相同的迭代构基准则，文把其中一个公式本一 一

若取 g (一- 6 ,,,,有迭代公 ) - f (=1 2… )则 z’

fx) ( 1

式() 1( )= z(抖‘ )一 ( F(‘)一 Dl z‘’

k一 0, 2, 1,…

加以推广，出解非线性方程组的一个改进的牛给顿法，该方法克服了牛顿法公式雅可比矩阵 DF (的奇异性带来求解非线性方程组的局限， )并

da (f D) ) x ) ig a ( f‘ )一F(‘ .’

() 5

特别地， a一a一…一a一a时可得迭代公式当 ( )= (一 (抖=‘=z ) DF(‘)一 ‘’

给出它的收敛性和误差估计，数值实验说明了算法的有效性.

a i ( i‘ ) ) xD) da f ( )一F(‘ . g ’

() 6

可以看出当 a=0时公式 ( ) 6即为牛顿法公

1迭代公式的构造设有非线性方程组F( z)一 0, () 2

式，以把公式 ( ) ( )作是经典牛顿法公式可 5和 6看的改进公式，为牛顿法公式是二阶收敛的，因以下给出公式 ( )收敛性理论 . 5的 定理 1假设 z。方程组 ( )是 2的一个解， F:

其中F( )= ( (, 2 z)…, ( ) z)厂 (, ),收稿日期： 0 8. - 8 2 0 -92. 0

DC R一在∈D的一个开邻域 c D内 二阶可微并且存在 M使

作者简介：马成业( 9 2)男， 1 7一，甘肃张家川人，兰州理工大学讲师，硕士，从事数值计算和最优化理论及应用的研究 .

这是线性方程组的一些论文,可供数学专业本科生论文写作参考之用。

第 1期

马成业等：非线性方程组的一个改进牛颁法解

17 1

I f l l ≤

2,…

<<1:.。其确为一) z1 1.精解；(,,<5中< ):表 2给出分别用两个公式所得其数值解 .表 1例 1数值解

的Xo(二。)一 1, r

_ 1 2,,z忌=, , f=,… 7,= 2, , =1

矩阵 A( ) ig一， ( )+DF( )非 x=da ( l )。是

奇异的，存在 z则的一个闭球口( ) cUo取，‘∈ ( )迭代公式 ( ) ( )阶收敛于。 z, 5和 6二Z .

公式 () 6N 6

牛顿法公式F i al s

XN ( O 7 7 0 7 1一 . 0 1 6 8

证明对 G(=( - lz,-z 2 ., ) e厂 ( ) e a厂 ( ) z

.Ⅳ

6

Xn ( O 7 7 0 7 1一 . 0 1 6 8

…, - J ( )由 Ne o - a tr vc e%一f ), wtnk no o i h定理

N

6

和迭代公式 ( ) ( )用局部收敛原理即可得 5和 6应证~ .

( 077071一 . 0 1 6 8

定理 2设 G: R一是在一个凸集 DC

表 2例 2的数值解公式 ()牛顿法公式 6Ⅳ 8

cD上 F可微，∈U Vz, o有 l I DG( ) x一DG( ) I yf— I,有 X’ l≤ I I若。∈Uo使l G( )l≤ p I D x I, lX;x’ I (。)/ DG(∞ )l x 1≤,取XNN

Fal is

( 0 r 0 )8 1 2

( 0 D )

( O) 0丁

a '一 7≤专，一([一(—2)] ) 1 1口专， -2= (r一[+ (— 2)] i f ) 1 1口专，假设口(∞,。c U,么以上定义的迭代公式 ‘ ) o那 ()得的迭代序列 z,= 1 2 5所。点，…仍在口(‘ z∞,。

由算例可知，用牛顿法公式求解非线性方应

程组，初值选取影响到算法的收敛性，即使收敛其收敛速度较慢，用公式 ( )以克服雅可比矩阵应 6可 DF( ) 的奇异性，同样是二阶收敛，收敛速度其快于牛顿法公式.

)内且收敛于 G(一O即 F( ) ) i(‘ ) ( z一O在= ∞,『

。

) nUo内的唯一解。其迭代误差为， I I z—‘ I≤ f z ) 2 ),上 )【 ( 一( a 2点= 0 1…. i l,,证明对 G( ) (— z^ ( ) e,z ( ) z= e 】 z, -z z,, z

4小结根据

非线性方程组 F( ) ( 1 z, ( ) z=厂 ( ) z,…,

…,-m f ( )应用 Ne t nk n oo i e a. z ): w o -a trvc h定理即可得证 引.。 ~

( ) z ( l,, 1的同解方程组 ),一 z,… z )’ 2( ) )

G( ) (, ( ) ez 2 z, z一 e‘ l z,g‘’, ( ) e‘

构造相应的牛顿法公式，取适当的参数得到一选

3算例 下面给出两个算例来说明算法的有效性，已

个新的迭代公式，知它是二阶收敛的，服了牛可克顿法公式由于雅可比矩阵 DF(的奇异性带来 )的解非线性方程组的局限性，且收敛速度快于并牛顿法公式 .另外利用本文给出迭代准则，当选适

知所求问题在已知区域内有解，别用公式 ()分 6和

经典牛顿法公式来求解以下非线性方程组， a取=1终止准则为 I z )l< 1 -。用 MAT-, l F( l 0 1,L AB编程求解 .r f 2一O z—z+1,

取 g(也可把文[] ) 4中给出的其它迭代公式推广到非线性方程组的求解.参考文献：[]黄象鼎， 1曾钟钢，马亚南 .非线性数值分析的理论和方法[ . M]武汉：武汉大学出版社，0 4 20 .

例 z c ), , J 1。一D丑 ) 1一s o一 一 (<z< 1 1 z< 2 . D中其精确解为；= ,< 2 )在

[]李庆扬，孜中，力群. 2莫祁非线性方程组的数值解法

l I I 一解.

【 2,给分用个式得数 表1出别两公所其值 f 1 .J 5

[ . M]北京：科学出版社，9 7 18. []郭学萍， 3丰静 .一类变形 Ne tn法的收敛性[]浙江 wo J.大学学报：学版，0 6 3 () 3 93 1理 2 0,34:8 -9 .

例{ 2

D(, -x2 (x l)

这是线性方程组的一些论文,可供数学专业本科 …… 此处隐藏：5008字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……