数列极限定义的等价定义及其作用

科教文化·195·

数列极限定义的等价定义及其作用

王芳

（广东环境保护工程职业学院，广东佛山528216）

摘要：在数学分析中，数列极限的定义是最基础的内容，而它的等价定义以及其在教学中的作用对学生在学习数学分析和常微分

阐述了数列极限的等价定义，在讨论了数列极限等价定义的基础上研究其在教学等都起到了非常重要的作用．本文从数列极限定义出发，

中作用．并说明运用等价定义证明教材中有关极限性质的定理以及极限不存在问题较之传统的方法，都有较大的优势。

关键词：数列极限；收敛；正整数

1概述当n无限增大时，数列中各项可以从单侧，也可以从两侧趋于数列的极限，是有限与无限、定性与定量、任意与确定等辩证思a，也可能时而接近于a，时而远离a，而趋于a不一定是“一项比一想在数学中的一个具体体现,数列极限的概念是高等数学中一个非项接近a”。例如下述数列

ÂÁ 1 n+(1)Á1常重要的概念，通过数列极限的学习，将使我们对变量数学的认识 , 100+(-1)Á99 , 2nnn 步入新的层次。

2数列极限定义的等价定义1，0，它们是上述所说的每一种情形的例子[3]。的极限分别是0，在数学分析中，数列极限的定义是最基础的内容，它的等价定2.2数列极限定义的两个等价描述

1-a<。义以及等价定义在教学中的作用对以后的学习都是非常重要的，甚1)对任意的自然数k，总存在自然数N，使得当n>N时，有xÁ

k

至在整个大学的数学学习也都是非常重要的，下面给出数列极限定2)对任意的r>0，只有有限个xn位于(a-r,a+r)之外[2]。义。limxÁ=a，证明1)设Á对任意的自然数k，取e=1，则存在自Á

k12.1数列极限定义-a=e<,反之，然数N，使得当n>N时，有xÁ如果{xn}满足1)，那么对k

e>0设{xn}是数列，a是常数，如果对任意，总存在自然数N，使1

使得k=e，而对k总存在自然数-a<e，有xÁ则称数列[xn]存在极限，极限为a，或称数列任意正数总可以找到自然数k，得n>N时，

1limxÁ=a。limxÁ=a。-a<<e，N，使得当n>N时，有xÁ即Á收敛于a，记为ÁÁÁk

=a，2)设limxÁ那么对任意r>0，存在自然数N，使得当n>N不等式x-a<e与不等式a-e<x<a+e是等价的，所以数列

ÁÁÁÁ

<a+r,可见至多只有N个xn在(a-r,a+r)-a<r，有xÁ即a-r<xÁ

{xn}以a为极限，也可以这样说，对任给的e>0，数列{xn}中恒存在时，

如果{xn}满足2)，则对任意r>0，令e=r，则只有有限个一项xN，在xN以后的所有xN+1,xN+2,xN+3…，都要在数a-e与a+e之间[1]。之外,反之，

则当n>N时，有xnÎ为了从直观上理解数列极限的定义，我们来看一下定义的几何xn在(a-e,a+e)之外,设它们的最大下标为N，

limx=a-a<e,可见Á(a-e,a+e)，Á即有xÁ。Á意义。

2.3几个似是而非的问题-a表示数轴上动点Xn与定点a之间的距离，式子xÁ“当n>N

-a<e，1)如果对任意e>0，存在自然数N，使当n>N时，有xÁ是xÁ-a<e恒成立”时，是说xN项以后各项

limxÁ=a?否ÁxN+1,xN+2,xN+3,LÁ2)如果对无穷多个e>0，存在自然数N，使当n>N时，有xÁ-a<e，对应的点都落在开区间(a-e,a+e)内，由此可见，在区间

limx=aÁ?Á(a-e,a+e)内有数列的无穷多项，而在此区间外只有数列的有限项是否Á

limxÁ=a，=a?3)如果Á是否必有某个xÁÁÁ（至多可有N项），因为e>0可以任意小，则开区间(a-e,a+e)的

limxÁ=a，-a?xÁa?4)如果Á是否必有xÁ这就是limxn=a的长度2e也任意小，可见点xn凝聚在点a的近旁，ÂÁÁ

几何意义。对上述问题的回答都是否定的，逐一举例如下:

为了对定义的本质有所认识，我们做如下的几点说明:1)令xn=-n，n=1，2，3，…，a=0，则对任意e>0，只需取N=1，当n>N(1)正数e的任意性limxÁ¹0。-a=n，-a=-n<e，时，都有xÁ但是xÁ显见Á

Á

1-a的大小即点列{xn}与点a的接近程11正数e的作用是控制xÁ=，n=1，2)令xÁ2，3，…a=0，则对于满足3<e<2的所有无穷多4度。可见，当e足够小时，xn与a就足够接近。由于e可以任意小，那11limxÁ 0。个，都有，但显然x-a=<eeÁÁÁ么xn与a就可以接近到任意需要的程度，也即“要多近有多近”。这441n=1，limxÁ=0，limxÁ=a描¹0。3)令xÁ2，3，…，a=0，则有Á但任意xÁ就从数量上刻划了极限的本质特征。如果将数列极限Á=，ÁÁn

述为当n充分大后，xn越来越接近于a是不对的，不能保证a是数1limxÁ=0，4)令xÁ，n=1，2，3，…，不难验证Á可是却有=ÁÁ

n+2(-1)列{xn}的极限。

11

-0>xÁ-0，xÁ=>=xÁ，xÁk=1，2，3，…．(2)e的确定性ÁÃÂÁÁÃÂÁ

2k-12k+2

正数e虽然可以任意小，就是说它是一个变量，但一经给出，它limxÁ=0，可见Á不意味着“随着n的增大，xn越来越接近于a”，Á

又是一个确定的值（如同0.01>0.001等），应视为一个常数，以便从这一点往往被忽略[4]。

-a<e中求出N,e的这种任意与确定两种性，不等式xÁ反映了极限3数列极限等价定义在教学中的作用

概念的近似与精确的辨证关系。历史上，人们研究的数列极限问题，其实就是研究一给定的数

(3)N与e的相关性列{an}当n变化(n )时，其相应项的变化趋势。而这一趋势，当然正整数N表示数列中的某一项数，其作用就是给出一个极限，是一个动态的过程。在通常的情况下，这一动态的过程人们在直观

-a<e，都满足xÁ即使得数列{xn}中xN项以后的各项，1

上又往往觉得是“显然”的（如时）。但仔细分析，这样的

直观又会把人引入歧途。xÁ-a<e,xÁ-a<e,xÁ-a<e,L，ÄÁÄÂÄÃ

n

0;n

e越小，N的选取，完全取决于e，一般来说，N越大[6]。

-aÂ<+=e时，如当我们说aÁ），常表示an与aaÁ®a（a为常数

e

2e2

的距离“越来越小”；与此同时，我们必发现，当an与a的距离“越来越(4)N的多值性

时，an与另一个不等于a的常数a'的距离也是“越来越小”（如N虽然与e有关，但又不是唯一的，即不表示N是e的函数，实小”

际对给定的e，如果存在一个满足要求的N，就必然有无限多个满足n 时，1与-1的距离也可以说“越来越小”）。

n要求的N，换句话说，N就有无穷多个了。

（下转45页）为了避免这种直观带来得不确定性（教学

(5)趋于极限的多样性

科技论坛·45·

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