高等数学上册复习资料

华南理工大学广州汽车学院基础部

关于10级《高等数学》（上册 理工类）期末统考的通知

通知要点

一、

二、

三、

考试的性质、目的与时间； 考试的重点内容与要求；

考试的形式、试卷结构与题型示例。

一、 考试的性质、目的与时间

本院《高等数学》（上册）期末统考是检查本课程教学状况、评定学生学习成绩的常规考试。它是根据教育部颁发的高等数学“教学基本要求”及本院制定的教学大纲命题的。目的是测定学生对本课程的基本概念、基本理论和基本运算技能掌握的程度，以及运用所学的知识分析问题和解决问题的能力，促进本课程教学质量的提高。

考试时间定于2010年1月7日上午（具体时间地点由学院教务处安排）。 二、考试的重点内容与要求

考试的范围是教材的第一、二、三、四、五、六章（第七章列入第二学期讲授，本次不考）。以下分三个部分明确考试的重点与要求：

1. 函数、极限与连续

理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。了解函数的几种特性。了解分段函数、复合函数和初等函数的概念。掌握16+2个函数及一些常见函数的图形（16+2个函数是

1

y C、y x 、y 、y y ex、y ax、y lnx、y logax;

x

y sinx、y cosx、y tanx、y cotx;

y arcsinx、y arccosx、y arctanx、y arccotx；及y secx、y cscx)。

理解数列与函数极限的概念（含 N定义，但对给出 找N不作要求）。了解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。了解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，了解无穷小的性质。掌握极限的四则运算法则。了解复合函数的极限运算法则。会用两个重要极限求极限。了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

理解函数在点x0处连续与间断的概念。了解初等函数的连续性。了解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。

2. 导数与微分、微分中值定理与导数的应用

理解可导与导数的概念及导数的表达式。了解左导数与右导数的概念。掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。了解函数可导性与连续性的关系。记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。掌握复合函数的求导法则。会求高阶导数、会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。了解可微与微分的概念。掌握基本初等函数的微分

公式与微分运算法则。了解一阶微分形式的不变性。会求函数的一阶微分。

了解罗尔定理、拉格朗日中值定理（对两个定理的分析证明不作要求）。会用洛必达法则求未定式的极限。掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。会求曲线的拐点。会用函数的单调性证明简单的不等式。理解函数的极值与最值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，会解有关最值的应用题。 3. 不定积分、定积分及其应用

理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，记11个基本积分公式（11个公式的左端是：kdx,

xdx,

11dx,dx, x 1

x2x, cosxdx, sinxdx,

1

cos2xdx,

1xx

aedx,dx,。掌握四种积分法（直接积分法、第一类换元法、第二类换元法及 dx） sin2x

分部积分法）。会求简单的有理函数的不定积分（对于有理函数积分中用到的真分式性质不作要

求）。

理解定积分的定义、几何意义及定积分的性质（含“两点补充规定”）。会用积分上限函数及其导数的定理求函数的导数。会用牛顿—莱布尼茨公式。熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。会求无穷限的反常积分。掌握定积分应用的元素法，会求平面图形的面积（直角坐标情形）及旋转体的体积。

考生应按上述指定的重点内容与课本的相关例题及教师布置的习题结合起来，运用相关内容的基本概念、基本理论和基本方法指导做题；反之又应从做题的过程中熟练掌握所指定的重点内容。考生还应注意各部分知识间的联系，提高综合分析问题和解决问题的能力。

三、考试的形式、试卷结构与题型示例

1. 2. 3. 4.

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案写在横线上）

1.

函数f(x) 2. lim(

x

考试形式为闭卷、笔试。满分100分，考试时间为120分钟。 试卷内容比例：函数、极限与连续约20%，一元函数微分学约40%，一元函数积分学约40%. 试卷题型比例：填空题15%，单项选择题15%，计算题49%，解答题21%. 题型示例

1

定义域是 。 x 1

x 23x

) 。 x

4

3.设y ln(1 x),则dy 4.

不定积分

1

。

5. 反常积分

11cosdx 。 x2x

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题四个选项中，只

有一个是符合题目要求的，把所选字母填在括号内）

x

,x 0,

1.设f(x) x，则f(x)在点x 0处 （ ）

1,x 0,

A．limf(x)不存在 B．f'(0)存在

x 0

C．limf(x)存在，但f(x)在点x 0处不连续 D．f(x)在点x 0处连续，但不可导

x 0

2. 函数

f(x)

[0,2]上满足罗尔定理的条件，则符合定理中的 为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．

1

2

3.曲线y x ex在点x 0处的切线方程是 （ A． y 2x 1 0 B．y 2x 2 0 C．y x 1 0 D．y x 2 0 4. 设a 0，若 a

0x 1 2x dx 0，则a （ A．

12 B．132

3 C．4 D．3

5.已知

xf t2

dt x3

，则2 1

f x dx （ A．1 B．2 C．3 D．4

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1. 求极限limlncos(x 1)

。

x 11 sin2

x

2. 讨论函数 f(x) x2,x 1,

2,x 1,

在x 1处的连续性与可导性。

3x

3. 设由方程xy exy

y 2确定隐函数y y(x)，求

dydx

。

x 0

） ）

）

4. 设由参数方程

x t arctantdy

y确定是的函数，求。 x2

dx y ln(1 t)

2

2

5. 求函数f x x x 1 3的极值。

3

6.

求不定积分

7.

计算定积分

四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1． 计算定积分

x。

12

x。

1

xarctanxdx。

x2

ln(1 x) x。 2．证明：当x 0时，x 2

3

．求由曲线y

2

、x轴与直线x e所围成的平面图形的面积。 4ln3 1 x C 5.sin1. dx

4.（答案）一. 1. 1 x 1 2. e 3.

x 1

6

二. 1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 三. 1.

4

2

2.连续但不可导 3. 2 4.

2

t

21 3 5. 极大值：f 1 ；极小值：f 2 .

6. C 7.

33324四.1.

4