1微积分的发展史

微积分的发展史

1.2 半个世纪的酝酿 1.3.1 牛顿的“流数术” 1.3.2 莱布尼茨的微积分 1.4.1 1.5 十八世纪微积分的发展 微积分的应用与新分支的形成 1.5.3 变分法 2.2 积分 3.1 微积分思想形成与方法论

1 微积分的发展史

1.1 微积分的思想萌芽

微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家

的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积

和曲线长的例子。在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子·天下

篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出

现的极限思想。但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范

却是魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元。刘徽

首先考虑圆内接正六边形面积 ，接着是正十二边形面积 ，然后依次加倍边数，

则正多边形面积愈来愈接近圆面积。用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”按照这种思想，他从圆

的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率 的近似值3.14。

大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父

子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率 介于3.1415926与

3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。其次明确提出了下面的原理：

“幂势既同，则积不容异。”我们称之为“祖氏原理”，即西方所谓的“卡瓦列利

原理”。并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。

欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。较为重

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要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题

时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。但他的方法并

没有被数学家们所接受。后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯

(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。之后，阿基米德

(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积

计算问题。他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法。他将

需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行

比较。但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。平

衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。

与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学

问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米

德、阿波罗尼奥斯(Apollonius, c.BC262-c.BC190)等均曾作过尝试，但他们都是基

于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动

的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分计

算）来处理，从而回避了连续变化率。

1.2 半个世纪的酝酿

微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的

欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高，科学和

技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量

的问题。这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为

主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究

对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与

突破的阶段。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种

主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，

求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二

类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定

炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极

小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的

面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基

本问题的计算被重新研究。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻

求解决这些问题的数学工具。这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性

的几位科学大师的工作。

德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》

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中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用

无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的

体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球

心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出

它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一 （V R 4 R2 1

3）

开普勒考虑的另一个例子是由半径为R的圆围绕其所在平面上的与圆心距

离为d的垂直轴旋转而形成的圆环，他证明这个圆环的体积等于该圆的面积与圆

心经过的路程之积：

V R 2 2 d 2 2Rd2

他推导这一公式的办法是：用通过旋转轴的平面把圆环分成无穷多个内侧较

薄、外侧较厚的垂直薄圆片（图1），而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面

为梯形的水平薄片。先推导出每个圆片的体积是 R2l，其中l l1 l2

2是圆片最

小厚度l1与最大厚度l2的平均值，亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推

算V R2 l R2 2 d

意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》

(1635)中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面

是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些

元素叫做线、面和体的“不可分量”．他建立了一条关于这些不可分量的普遍原

理，后以“卡瓦列里原理”著称：

两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积

之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比。

卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最

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重要的贡献还在于．他后来(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等价于下列积分

a

x

0ndx an 1n 1

的基本结果，使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡。

卡瓦列里考虑一平行四边形内线段的幂和与组成它的三角形内线段的幂和之间的关系．如图2，在平行四边形ACDF中，AF＝a，其内任一平行于AF的截线GE被对角线分成两部分GH＝x，HE=y。

A

先讨论一次幂和的关系。因x+y=a，故 a

C

A x y x CCCAAAAAy 2 xC

(利用对称性)，因此 x

C

A12A a．按卡瓦列里的不可分量观点， x应为△CAFCCA

的面积， a …… 此处隐藏：10116字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……