固体物理6-2 能带理论

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§6.5晶体能带的对称性一、 En(k)函数的对称性晶体点群对称操作的算符T(α),物理意义：对于任意函数f(r),有

T (α ) f ( r )= f (α 1r )其中，α-1是α的逆操作，其定义为α-1 r点经α操作后变换到r点。晶体中电子运动的哈密顿量为：

h2 2 H= r+ U ( r ) 2m

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将T(α)和H同时作用在任意函数f(r)上，

h2 2 r+ U ( r ) f ( r ) T (α ) Hf ( r )= T (α ) 2m

h2 2 1=α 1r+ U (α r ) f (α 1r ) 2m h2 2= r+ U ( r ) T (α ) f ( r )= HT (α ) f ( r ) 2m2在正交变换下形式不变，

α 1r=2

2 r

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电子的势能函数U(r)具有与晶格相同的对称性：

U (α 1r )= U ( r )由于f(r)是任意函数，所以T(α)与H可对易

T (α ) H HT (α )= 0若ψn,k(r)是晶体波动方程的解，那么，T(α)ψn,k(r)也是方程的解，且ψn,k(r)与T(α)ψn,k(r)有相同的能量本征值。

Hψ n,k= En ( k )ψ n,k

T (α ) Hψ n,k= T (α ) En ( k )ψ n,k

HT (α )ψ n,k= En ( k ) T (α )ψ n,k

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在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数

ψ n,k ( r )= eikr un,k ( r )n:能带标记，k:简约波矢，对应的能量本征值：En(k)

T (α )ψ n,k ( r )= T (α ) eikr un,k ( r )=eikα 1r

un,k (α 1r )

′= eiα kr un,α k ( r )=ψ n,α k ( r )un,k (α 1r )仍以格矢Rl为周期，由于可以改写为由于α是正交变换，

∴ kα 1r=α k r

α Aα B= A B

′ un,α k ( r )

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这表明，用T(α)作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢αk。根据上面的推论，它们应具有相同的能量本征值。

∴ En ( k )= En (α k )上式对所有晶体点群的对称操作α都成立。证明了在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。

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晶体中电子运动的哈密顿算符

h2 2 H=+ U (r ) 2m由于H是实算符，H*=H,所以，如果ψn,k(r)是方程的解，那么ψ*n,k(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。

Hψ n,k= En ( k )ψ n,k取复共轭：晶体中

ψ n,k ( r )= eikr un,k ( r )

Hψ n,k= En ( k )ψ n,k= En ( k )ψ n, k

ψ n,k ( r )= e ikr un,k ( r )=ψ n, k ( r )

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用-k取代k,得

Hψ n, k ( r )= En ( k )ψ n, k ( r )∴ En ( k )= En ( k )

这个结论与晶体的点群对称性无关，而是时间反演对称性的结果。对于同一能带，有

En ( k+ Gl )= En ( k )En (α k )= En ( k )

来源于晶格的周期性来源于晶体的点群对称性来源于时间反演对称性

En ( k )= En ( k )

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以二维正方晶格为例：二维正方晶格的点群是C4V(4mm),点群的阶数：8只需研究清楚简约区中 1/8空间中电子的能量状态，就可以知道整个 k空间中的能量状态了。这部分体积称为简约区的不可约体积。P’’ P’ P

ky

kx

立方晶系的Oh(m3m)点群(48阶),只需研究(1/48)Ωb即可。

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二、波矢星和

波矢群

En ( k )= En (α k )对所有晶体点群的对称操作α,可得到一组αk,它们都是等价的，都具有相同的能量本征值。我们将这组αk的集合称为波矢星。 1.所有的αk≠ k,或αk≠ k+Gl(除α为单位元素外)这时， k是布里渊区中的一般点，这时k星中的等价波矢量数目等于晶体点群中的元素数(即点群的阶数)。如二维正方晶格的C4V(4mm)点群(8阶),在第一布里渊区的一般位置k,可以得到8个等价的波矢量αk组成 k星。

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对于简单立方晶格的Oh群，有48个对称操作，那么在简约区中的一般位置k,可以得到48个等价的波矢量组成波矢星。 2.在晶体点群中存在某些对称操作β,使得k

βk= k

或

β k= k+ Gl

(β∈α )

在这种情况下，k一定是处在简约区中的特殊位置(如对称点、对称轴或对称面)上。这时波矢星中所包含的等价波矢量数目就少于晶体点群的阶数，而只是它的一个分数。

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β操作的集合构成一个群，称为波矢群，或称为β群。可以证明： k星中的等价波矢量数×波矢群的阶数=晶体点群的阶数波矢群也是晶体点群的一种，而且一定是这种晶体点群的子群，或者就是晶体点群本身。以二维正方晶格C4V(4mm)为例：在它的简约区(即第一布里渊区)中有六种具有波矢群的对称点或对称轴： -π/aπ/aσ1my

kyΣΔmx

M Z X kx

-π/aσΓ 2

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特殊位置Γ点 X点 R点Δ轴Σ轴 Z轴

k (0, 0) (π/a, 0) (π/a,π/a) (k, 0) (k, k) (π/a, k)

k星中等价k数 1 2 1 4 4 4

β群 C4V C2V C4V CS CS CS

波矢群阶数 8 4 8 2 2 2

波矢群中的对称操作 4z,mx,my,σ1,σ2 2z, mx,my 4z,mx,my,σ1,σ2 my

σ2mx

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简单立方晶格Oh (m3m)点群：特殊位置Γ点 R SΔT XΓ ZΣ MΛ X点 M点 R点Δ轴 Z轴Σ轴 S轴 T轴Λ轴 k (0, 0, 0) (π/a, 0, 0) (π/a,π/a, 0) (π/a,π/a,π/a) (k, 0, 0) (π/a, k, 0) (k, k, 0) (π/a, k, k) (π/a,π/a, k) (k, k, k)β群 Oh (m3m) D4h (4/mmm) D4h (4/mmm) Oh (m3m) C4V (4mm) C2V (mm2) C2V (mm2) C2V (mm2) C4V (4mm) C3V (3m)

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二、自由电子的能带(空格点模型)自由电子的能量为

h 2 k′2 E (0) ( k′)= 2m

k’为广延波矢，不一定在简约区中，一定可以找到唯一一个倒格矢Gn’,使得

1.一维情况

h2 2 (0) (0) (0) En ( k′)= En ( k+ Gn′ )= En ( k )= k+ Gn′ 2m

k= k′ Gn′

k为简约波矢

E

(0) n

h 2π ( k )= k+ n′ a 2m2

2

k为简约波矢

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取k的单位：π a

En(0)(k)的单位:2

E

(0) n

( k )= ( k+ 2n′ )

0≤ k≤1

hπ 2m a2

2

第一能带：n=1,n’=0

) E (k n

(0 )

9

E1(0) ( k )= k 2第二能带：n=2,n’=-1

0

14 1

(0)相应波函数：ψ 1,k ( x )≡ eikx

(0)ψ 2,k ( x )= ei ( k 2) x相应波函数：

E

(0) 2

(k )= (k 2)

2

4E(0) 3

1

0

k

1

第三能带

:n=3,n’=1相应波函数：

(k )= (k+ 2)

2

4

9

(0)ψ 3,k ( x )= ei ( k+ 2 ) x

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2.二维情况：例：二维正方晶格的简约区中沿ΓΔX(即kx)轴作出 En(0)(k)曲线。取kx、ky的单位:

π

π/a

kyΣ

a 2 2 hπ En(0)(k)的单位： 2m a

M ZΔ X kx

-π/a2

Γ -π/a

E

(0) n

( k )= ( k x+ 2n1 )(0) n1n2

2

+ ( k y+ 2n2 )

在ΓΔX轴上，ky=0

0≤ kx≤ 12 2+ 4n2

∴E

(Δ )= ( k x+ 2n1 )