1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)

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[读教材· 填要点]1.曲线的极坐标方程 在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中 至少有一个 满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合f(ρ,θ)=0的 点 都在曲线C上 ，那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方

程.2.圆的极坐标方程 圆心为C(a,0)(a>0)半径为a的圆的极坐标方程为 ρ=2acos θ .

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[小问题· 大思维] 1. 在直角坐标系中， 曲线上每一点的坐标一定适合它的方程. 那么， 在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？

提示： 在直角坐标系内， 曲线上每一点的坐标一定适合它的方程， 可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方 π π 程.例如给定曲线 ρ=θ,设点 P 的一极坐标为(4,4),那么点 P 适合方程 ρ=θ,从而是曲线上的一个点，但点 P 的另一个极坐 π 9π 标(4, 4 )就不适合方程 ρ=θ 了.所以在极坐标系内，确定某一 个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判断点 P 的极坐标中是否有 一对坐标适合曲线 C 的方程即可.

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2. 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点(a, π 2)处且过极点的圆的方程又是什么？提示：圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r;圆心 π 在点(a,2)处且过极点的圆的方程为 ρ=2asin θ(0≤θ≤π).

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[研一题] [例1] 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹

的极坐标方程. [精讲详析] 本题考查极坐标方程的求法，解答此题需要

根据题目特点建立恰当的极坐标系，然后再求直角顶点的轨迹 方程.

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设直角三角形的斜边为OD,它的长度是2r,以O为极点， OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示： 设P(ρ,θ)为轨迹上的一点， 则OP=ρ,∠xOP=θ.

在直角三角形ODP中，OP=OD· θ, cos ∵OP=ρ,OD=2r, ∴ρ=2rcos θ(ρ≠0,ρ≠2r). 这就是所求轨迹的方程.

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[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：

①建立适当的极坐标系.②设P(ρ,θ)是曲线上任一点. ③列出ρ,θ的关系式. ④化简整理. (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立

极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键.

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[通一类] 1.设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA,连结 MA,过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P,求 P 点的轨迹方程. 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图.设定圆 O 的半径为 r,OM=a,P(ρ,θ)是轨迹上任意一点. ∵MP⊥MA,∴|MA|2 +|MP|2 =|PA|2.由余弦定理，可知|MA|2 =a2+r2-2arcos θ,|MP|2=a2+ρ2-2aρcos θ.而|PA|=r-ρ, 由此可得 a2+r2-2arcos θ+a2+ρ2-2aρcos θ=(r-ρ)2. a a-rcos θ

整理化简，得 ρ= . acos θ-r

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[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0,θ0),半径为r的圆的方程. 在圆周上任取一点P(如图)

[精讲详析]

设其极坐标为(ρ,θ).由余弦定理知： CP2=OP2+OC2-2OP· OCcos ∠COP, ∴r2=ρ+ρ2-2ρρ0cos (θ-θ0). 故其极坐标方程为

r2=ρ+ρ2-2ρρ0cos (θ-θ0).

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[悟一法]

(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法. (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0=0时，方程为r2=ρ+ρ2 -2ρρ0cos θ;若再有ρ0=r,则其方程为ρ=2ρ0cos θ=2rcos θ; 若ρ0=r,θ0≠0,则方程为ρ=2rcos (θ-θ0),这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置.

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[通一类] π 2.在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3,3),半径为 3,Q 点在 圆周上运动. (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹.

解：(1)如图，设 Q(ρ,θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ, 则|OD|=6, π ∠DOQ=3-θ,

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π π 或∠DOQ=θ-3,∠DQO=2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|=|OD|cos (θ-3), π 即 ρ=6cos (θ-3). (2)若 P 的极坐标为(ρ,θ),则 Q 点的极坐标为(2ρ,θ). π π ∴2ρ=6cos (θ-3),∴ρ=3cos (θ-3). ∴P 的轨迹是圆.

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[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化

(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0; 1 (3)ρcos 2=1;(4)ρ cos 2θ=4;(5)ρ= . 2-cos θ2 2θ

[精讲详析]

本题考查极坐标与直角坐标的互化公式.

(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y2=4x, 得(ρsin θ)2=4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ=4cos θ.

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(2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y2+x2-2x-1=0, 得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0, 化简，得 ρ2-2ρcos θ-1=0. (3)∵ρcos 2=1, 1+cos θ ∴ρ· 2 =1,即 ρ+ρcos θ=2. ∴ x2+y2+x=2.化简，得 y2=-4(x-1).2θ

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(4)∵ρ2cos 2θ=4, ∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即 x2-y2=4. 1 (5)∵ρ= , 2-cos θ ∴2ρ-ρcos θ=1. ∴2 x2+y2-x=1.化简，得 3x2+4y2-2x-1=0.

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[悟一法]直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x= ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.