1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二) 课件(人教版必修4)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

1.借助图象理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象 及与x轴的交点等).(重点) 2.能利用性质解决一些简单问题.(重点、难点)

正、余弦函数的图象与性质正弦函数 图象 值域 [-1,1] π π - +2kπ, +2kπ 2 在 2 (k∈Z)上递增， π 3π +2kπ, +2kπ 2 在 2 (k∈Z)上递减. [-1,1] 在 [-π+2kπ,2kπ] (k∈Z)上递增， 在 [2kπ,π+2kπ] (k∈Z)上递减. 余弦函数

单调性

正弦函数π 2+2kπ x=

余弦函数

(k∈Z) x=2kπ (k∈Z)时，

最值

时，ymax=1;x= ymax=1;x= π -2+2kπ (k∈Z)时， min π+2kπ (k ∈ Z) y =-1. 时，ymin=-1.

1.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？ 提示：正、余弦函数在它们的定义域内都不是单调函数，但它们在各 自的单调区间内都是单调的. 2.正弦函数、余弦函数取得最值的点有何特点？ 提示：取得最值的点为正、余弦函数图象的最高点或最低点，或者说 图象的对称轴与图象的交点.

求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； (2)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数求单调区间时，应采用 “换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y= Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)的函数的单调区间同上.

【特别提醒】(1)ω<0时，必须用诱导公式转化成-ω>0后再求解； (2)若A<0,则单调性相反.

求y=cos 2x的单调区间. 【思路点拨】

解：函数 y=cos x,x∈R 的单调递增区间为[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z),单调递减区间为[2kπ,π+2kπ](k∈Z). 由-π+2kπ≤2x≤2kπ, π 得-2+kπ≤x≤kπ,k∈Z; 由 2kπ≤2x≤π+2kπ, π 得 kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 2 所以函数 y=cos 2x 的单调递增区间为 π - +kπ,kπ ,k∈Z; 2 π 单调递减区间为 kπ,2+kπ ,k∈Z.

1.求

π y=2sin 4-x 的单调区间.

π π 解：y=2sin 4-x =-2sin x-4 .

因为 y=sin x,x∈R 的单调递增区间为 π π - +2kπ, +2kπ (k∈Z), 2 2 π 3π 单调递减区间为 2+2kπ, 2 +2kπ (k∈Z).

π π π 由-2+2kπ≤x-4≤2+2kπ, π 3π 得-4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z; π π 3π 由 +2kπ≤x- ≤ +2kπ, 2 4 2 3π 7π 得 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 4

所以函数

π y=sin x-4 的单调递增区间为

π 3π - +2kπ, +2kπ (k∈Z), 4 4

3

π 7π 单调递减区间为[ 4 +2kπ, 4 +2kπ](k∈Z). 所 以 原 函 数 y = 2sin π 3π - +2kπ, +2kπ (k∈Z), 4 4 3π 7π 单调递减区间为 4 +2kπ, 4 +2kπ (k∈Z). π -x 4

的单调递增区间为

比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值； (2)不同名的函数化为同名函数； (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.

比较下列各组数的大小： 23 (1)cos - 5 π 与 17 cos - 4 π ;

(2)sin 194° cos 160° 与 ； (3)sin 1,sin 2,sin 3.

【思路点拨】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的 正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值 进行比较.

23 7 7 解：(1)cos - 5 π =cos -6π+5π =cos5π, 17 7 7 cos - 4 π =cos -6π+4π =cos π, 4

7 7 7 7 ∵π< π< π<2π,∴cos π<cos π, 5 4 5 4 即 23 17 cos - 5 π <cos - 4 π .