考试题库之高等量子力学

1、请写出关于直积的五个定理并加以证明 答案：

定理一：两个对角矩阵的直积仍是对角矩阵 证明：已知A、B为两个对角矩阵，

有Aij = Aii ij , Bmn =Bmm mn (A×B)im,jn = AijBmn = AiiBmm ij mn = Cim;im im,jn 所以.A×B仍是对角矩阵 定理二：(A + B)×C = A×C + B×C 证明： ((A + B)×C)im,jn = (A + B)ijCmn = (Aij + Bij)Cmn

= AijCmn + BijCmn = (A×C)im,jn + (B×C)im,jn, 所以 (A + B)×C = A×C + B×C. 定理三：如果A和B是幺正矩阵，则A×B也是幺正的 证明：因为A、B都是幺正矩阵，所以AA= I，BB= I

A

k

ik

A kj ij ， BmlBln mn

l

**

(A B) kl,jn AikBml(A B)jn,kl AikBmlAjkBnl

kl

kl

ln

kj

(A B)

klkl

im,kl

AikBmlAB AikA

kj

k

B

l

ml

B ij mn im,jn ln

所以A×B也是幺正矩阵 定理四：Tr（A×B）=TrA·TrB 证明：Tr(A×B) =（A B）im,im=

im

AB

iiim

mm

=

A B

iii

m

mm

= TrA·TrB

定理五：设A、C为同维矩阵，B、D为同维矩阵，则有(A×B)(C×D) = (AC)×(BD) 证明：((A B)(C D))im,jn

(A B)

kl

l

im,kl

(C D)kl,jn

AikBmlCkjDln AikBkj BmlDln

kl

k

(AC)ij(BD)mn ((AC) (BD))im,jn

所以(A×B)(C×D) = (AC)×(BD)

mA 0,m为正整数， A 0。2、如果f是厄米算符，而且对某一特定右矢A有f则有f mA 0， 证明：因为f

(m 2)f m f 2(m 1)A 0，Af 2(m 1)A 0 所以f

是厄米算符，所以f (m 1)也是厄米算符，

因为f

2(m 1)A Af (m 1)f (m 1) f (m 1)Af (m 1)A 0 所以Af

(m 1)A 0，同理，可得到f (m 2)A 0……，以此类推，可得到f A 0 所以f

3、（1）请写出一维谐振子的经典哈密顿量

（2）请写出一维谐振子的Heisenberg运动方程 （3）已知a 证明aa

n

m ip m ip

q ，a q ， a,a =1，请用数学归纳法2 m 2 m

a na na n 1

n

n

（4）根据a0 0，00 1用数学归纳法，证明0aa0 n!，并根据正交归一性

推导出 a n 1n 1

an n

答案：（1）一维谐振子的经典哈密顿量H

1

2m

(p2 m2 2q2) （2）一维线性谐振子的Heisenberg运动方程 q 1

pt t i qt,H m p t 1

i p2

t

,H

m qt （3）证明：因为 a,a

=1，所以当n=1时成立 假设当n m时，aa

m

a ma na m 1 成立

则当n m 1时， a,a m 1

= a,a m

a

a m a,a

na m 1a a m (n 1)a

m

所以n m 1时成立，由此可推出aa n

a na na n 1

（4）证明：因为a0 0，所以当n=1时成立 假设当n m时，0am

a m

m！

成立 则当n m 1时，0a

m 1

a m 1 0amaa a m0

0am

(1 a

a)a m

0am

a

aa m

+0ama m0

0am

a (a

m

a ma m 1)+0ama m0 因为a0 0，所以0ama a m

a 0

上式 0ama ma m 1+0ama m0 m0ama m+0ama m0

(m 1)0ama m0 (m 1)m! (m 1)! 所以n m 1时成立，由此可推出aa

因此相应于能量为(n

n

n

0 n!

1

) 的归一化本征右矢为 2

n

1 n

a0 n!

n 11n 1n!1n!

a n 10

n 1(n 1)!

n(n 1)!

a n 10 n 1n

所以an

1n!1n!

a n 10

同理an

aa n0 (a na na n 1)0 a n 10 nn

a n n 1n 由此得出

an nn

4、（1）请写出费曼—海尔曼定理 （2）请写出维里定理

（3）请用费曼—海尔曼定理

答案：（1）假设系统的束缚态能量本征值及归一化的能量本征态为En和n， 为哈密顿

En H

n 量中含有的任何一个参数，则有 n

P2

（2）2nTn r· Vn，这里T 是动能，V V r 是势能。

2mP2 22 V r V r ， （3）在坐标表象中，H 2m2m

把 看成参量，由F-H定理知

H 21P22

T， m m

En H2

nn nTn ……①

P2P2 d

在动量表象中，H 2m V r 2m

V i dP

H V r V· V r ·iddP

V r

·r 在最后一步中又将动量表象中的i ddP

换回为r

。

由F-H定理知

En n H1

n

nr· Vn ……② 比较①和②得知

2nTn nr

· Vn，证毕。

5、由j1j2

m Cjmj1m1,j2m2

j1m1;j2m2和j1m1;j2m2 Cjm

j1m1,jj1j2jm1m2

jm

2m2证明CG系数满足下面的正交归一性m Cjmj mj1,jmj1m1,j2m2 jj mm

2

2

1,m1mC 2

C

jm

jmj,j1m1

,jjm

1m12m2Cj2m2 m1m1 m2m2

证明：j1j2

m

Cjmj1m1,j2m2

j1m1;j2m2 1m2

取共轭为：j1j2j m

Cj m

j ;m1

m1

,jj2

m2

j1m1

2m2

1 m2

由以上两式，得 jj mm j1j2j m j1j2jm Cj m jm

j1m1

,j2

m2

Cj1

m1,j2m2

j1m1 ;j2m2 j1m1;j2m2 m 1m2m 1m 2

Cj m jm

m11

j2

m2

Cj1m1,j2m2 m1m1 m2m 2

1m2m m jm , 12

Cj jm

jmjm m11,j2m2Cj1m1,2m2

1m2

j1m1;j2m2 Cjmj1m1,jj1j2jm jm

2m2

取共轭为：j ;jj m

1m1

2m2 C

jj m

1

m 1,j2m 2

j1j2j m

由以上两式，得 m1m1 m2m 2

j1m1 ;j2m2 j1m1;j2m2 Cj m

jCjmjjm j m

1m 1,j2m 21

m1,j2m2

j1j2j m j1j2jm

C

j m

j1m 1,j2m 2

Cjm

j1m1,j2m2

jj mm jmj m

C

jm

,j2m j1m12 Cjjm

1m1,j2m2

jm

证毕。

6、请验证下列算符是否对易

（1）一维情形下的平移算符 (d)和 (d ) （2）三维情形下的空间转动算符D(R1)和D(R2) （3） (d)和宇称算符 （4）D(R) 和宇称算符

答案：（1）对于一维情形下的平移算符 (d)和 (d )， 有 (d) (d ) (x) (d) (x d ) (x d d) (x d d ) (d ) (x d) (d ) (d) (x) 所以一维平移算符 (d)和 (d )彼此对易。

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