大学物理学上下册中国科学技术大学出版社课后习题与答案(2)

d 3 0

方向分别如图所示。

在图(b)中，以O 点为小球体的球心，可知在O 点E2 0. 又以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求得P点场强E2P。

s

E2 ds E2 4 (2d) 4 r( )/ 3 0 ，E2P

2

3

(1) 求O 点的场强EO'。由图(a)、(b)可得

r3

2

12 0d

EO' E1O'

(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得

d

， 方向如图(c)所示. 3 0

r3 d 4d2 方向如(d)图所示.

EP E1P E2P

3 0

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9.16 如题图9.12所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求：

(1) 在它们的连线上电场强度E 0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？

(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U 0的点与电荷为＋q的点电荷相距多

远？

解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线． (1) 设E 0的点的坐标为x ，则

E

3q

i 0 2

4 0x 2 4 0x d2x 2 2dx d2 0

q

x 11d

i

解出：

另有一解x21

1d不符合题意，舍去．

(2) 设坐标x处U 0，则

U

得：

q3qq

4 0x4 0d x4 0

x

d 4x xd x 0

d 4

9.17 一均匀静电场，电场强度E （400i 600j)V m 1，空间有两点a(3,2)和b(1,0)，（x,y以米计）。求a,b两点之间的电势差Uab。

yj ，则 解：空间某点的位矢表示为r xi

600 Uab Va Vb E dr (400ij) (idxjdy)

a

a

b

b

b

1

(400dx 600dy) 400dx 600dy 2000(V)

a

3

2

9.18 题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为

， 0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

（0x a）

解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq 0 x a dx。它在O点产生的电势

dU

O点总电势：

0 x a dx

4 0x

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a ldx 0 0 a l

dx a ax 4 0 a 4 0

U dU

a l

l aln a

9.19 题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为2l的细杆上。求 （1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)。 （2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势。(设无穷远处为电势零点)．

解：（1）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．

q/2l，在x处取电荷元dq dx qdx/2l，它在P点产生的

细杆的电荷线密度 电势为

dUP

dqqdx

4 0l a x8 0ll a x整个杆上电荷在P点产生的电势：

UP

lqdx qql 2l

lnl a x ln 1 l l8 0ll a x8 0l8 0l a

（2

.

dUP

整个杆上电荷产生的电势：

杆的电荷线密度 q/2l．在x处取电荷元dq dx qdx/2l，它在P点产生的电势

dx

q

UP

8

0l

l

l

q n8 0l

q

nx

a2 x

28 0l

l

qn8 0l

l l

l

l

lqq

n n

4 0l 8 0l a

9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已

2

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知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．

解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E

两球的电势差：

Q

(R1＜r＜R2）

4 0r2

U12

R2

R1

Q

Edr

4 0

R2

R1

Qdr

r24 0

11 R R2 1

∴ Q

4 0R1R2U12

＝2.14×10-9 C

R2 R1

9.21 电荷以相同的面密度 分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V． ［ 0＝8.85×10-12 C2 /(N·m2)］ (1) 求电荷面密度 ．

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

q1q2 1 4 r12 4 r22 r r 4 r r

2 10 12

U

00＝8.85×10-9 C / m2

r1 r2

(2) 设外球面上放电后电荷面密度为 ，则应有：

1

r1 r2 0 U0

1

U0

4 0

r1 r2 0

0

即 ：

外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：

r1

r2

r1

q 4 r22 4 r22 1 r

2

4 r1 r2 r2 4 0U0r2＝6.67×10-9 C

9.22如题图9.15所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为 ，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dq dx，

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该线元在带电球面的电场中所受电场力为：

x

dF

整个细线所受电场力为：

q dx

2

4 0x

q F

4 0

r0 lr0

dxq l

，方向沿x正方向．

x24 0r0r0 l

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW

整个线电荷在电场中具有电势能：

q dx

4 0x

q W

4 0

r0 lr0

dxq r0 l

ln x4 0 r0

9.23一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5×10-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5×10-3 m的同轴圆筒形阳极B，如题图9.16所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6×10-19 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为 ．按高斯定理有：

2 rE

即两极间的电场强度可表示为：

0

E

， (R1＜r＜R2)， 2 0r

R2 Rdr

ln R2 0r2 0R1

U UA

B

2 0lnR2/R121

E的方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

UA UB E dr

A

B

所以，两极间的电场强度为：

E

在阴极表面处电子受电场力的大小为

UB UA1

lnR2/R1r

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