大学物理学上下册中国科学技术大学出版社课后习题与答案

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习题九

一、选择题

9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

(A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．

(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．

(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．

(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．

［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为

(A)

qqqq． (B) (C) ． (D) 3 04 03 06 0

［D］

题图9.1 q

9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量 q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为

q2q2q2q2

(A) (B) (C) (D) 22

2 0S 0S2 0S 0S

[B ]

9.4 如题图9.2所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷 q，M点有负电荷 q．今将一试验电荷 q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功

(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 , 且为有限常量．

(C) A＝∞． (D) A＝0． ［D，VO 0］

-题图9.2

9.5静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．

(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．

(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［C］

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9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A) 电场强度EM EN． (B) 电势UM UN．

(C) 电势能WM WN． (D) 电场力的功A＞0．

［C］ 二、计算题

9.7 电荷为 q和 2q的两个点电荷分别置于x 1m和x 1m处．一试验电荷置于x轴上

2q0

解：设试验电荷q0置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得

q( 2q) ( 2q) q0i 0 i 0 2222

4 0 x 1 4 0 x 1 4 0 x 1 4 0 x 1

即：

q q0

1

x 1

22

( 2)

x 1

2

0 x 1 2 x 1 0

22

x 2x 1 2 x2 2x 1 0

x2 6x 1 0 x (3 m。

因x 3 2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得

x 3 m

9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷 Q，沿其下半部分均匀分布有电荷 Q，如题图9.4所示．试求圆心O处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷dq dl 2Qd / ，它在O处

产生场强

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dE

dqQ

d

4 0R22 2 0R2

Q

按 角变化，将dE分解成二个分量：

sin d

2 2 0R2

Q

dEy dEcos 2cos d 2

2 0R

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

/2

Ex 2sin d sin d 0 2 2 0R 0

/2

/2

Q Q

Ey 2cos d cos d 2 22 2 0R 0 0R /2

dEx dEsin

Q

所以

E Exi Eyj

Q

j。

2 0R2

9.9 如图9.5所示，一电荷线密度为 的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为Q的均匀带电球体，其球心位于O点。 AOP是边长为a的等边三角形。已知P处场强方向垂直于OP，求: 和Q间的关系。

解：如图建立坐标系。根据题意可知

Ex 0

Q4 0a2

cos600 0 2 0a

Q

0 Q a。 a

9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．

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解：电荷面密度为

的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ：E /2 0。以图

中O点为圆心，取半径为r r dr的环形面积，其电量为dq 2 rdr。它在距离平面为a的一点处产生的场强

dER

ardr

2 0 a r

2

23/2

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

aER

2 0

R

rdr

a2 r2

3/2

2 0

a 1

a2 R2

由题意，ER E/2 /4 0，得到

1 2 0 1 4 0 11

，

22

2a 4a2 a2

R2 R 。

9.11 如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为d，电荷线密度为 。过导线中点O作一半径为R[R d2]的球面S，P为带电直导线的延长线与球面S的交点。求： （1）、通过该球面的电场强度通量 E。 （2）、P处电场强度的大小和方向。

解：（1）利用静电场的高斯定理即可得： E

qint

0

d

。

0

（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为x处取长度为dx的带电元，其所带电荷量为dq dx，dq在P点产生的电场强度为

dE

P点的电场强度为

dq dx ii22

4 0(R x)4 0(R x)

E

d2

d dE i

d2

dx

4 0(R x)2

d2

dd(R x) R d2dy i i

22 d2R d24 0(R x)4 0y

11

R d2R d2

i

4 0

R d2

1 i y

R d24 0

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1 (4R 2d) (4R 2d) i1 i d i 22 0 4R 2d4R 2d 0 (4R 2d)(4R 2d) 0(4R d)

9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：Ex bx，Ey 0, m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真Ez 0。高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C·空介电常数 0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2

)

解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：

E1S1 E2S2

则

Q

0

,(S1 S2 S)

Q 0S(E2 E1) 0Sb(x2 x1) 0a2b(2a a) 0a3b 8.85 10 12C

9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a、b，电荷体密度为 r，在

球心处有一点电荷Q。证明：当A Q(2 a)时，球壳区域内电场强度E的大小与半径r

2

无关。

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