《数值计算方法》期末考试模拟试题二

数值计算方法期末模拟试题二

模拟试题二

一、 填空（共20分，每题2分）

1、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.

2、设一阶差商 ，

则二阶差商

3、数值微分中，已知等距节点的函数值

则由三点的求导公式，有

4、求方程

那么 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ，

5、解初始值问题

窗体顶端 近似解的梯形公式是

6、

7、设

和 ，则A的谱半径 ＝ ，A的 ，则 ＝ ＝ ＝

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____

10、设

其对角线元素 ，当 时，必有分解式 ，其中L为下三角阵，当足条件 时，这种分解是唯一的。

二、计算题 （共60 分，每题15分）

1、 设

（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足

H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项

2、已知

单迭代函数

的 ，使 满足 的表达式 ，试问如何利用 0，1…收敛？ 构造一个收敛的简

3、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

4、 推导常微分方程的初值问题

的数值解公式：

三、证明题

1、 设

（1） 写出解 的Newton迭代格式

（2） 证明此迭代格式是线性收敛的

2、 设R=I－CA，如果

（1）A、C都是非奇异的矩阵 ，证明：

（2）

参考答案：

一、填空题

1、2.3150

2、

3、

4、1.5

5、

6、

7、

8、 收敛

9、O（h）

10、

二、计算题

1、1、（1）

（2）

2、由 ，可得

因 故

故 ，k=0,1,…收敛。

3、 ，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得

用Simpson求积公式得 ，记步长为h,对积分

所以得数值解公式：

三、证明题

1、证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式：

n=0,1,…

得 ，n=0,1,…

（2）因迭代函数 ，而 ， 又 ，则

故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明：（1）因

（2） (2)，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 故 则有

（2.1） 因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C

又RA-1=A-1–C，故

由 （这里用到了教材98页引理的结论） 移项得

结合（2.1）、(2.2)两式，得 (2.2)