“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(3)

（4） 形函数的几何意义，图2-5。

根据三角形单元形函数的上述性质也可以推断，单元的假定位移在内部和边界上都线性分布，边界上的位移只跟两端节点位移有关，保证了整个求解区域上位移的连续性。

图2-5 形函数的几何意义

思考：如何证明上述性质和推论？

3、用节点位移表达单元应变和应力

单元位移模式确定后，很容易得到用节点位移表示单元应变和应力的表达式。 应用弹性力学几何方程矩阵形式，得到：

ε

=

εx = εy =L γ xy

u=LNa=L[NNN]a

e

e

i

j

m

[B

i

B

j

B]a=Ba

e

e

m

矩阵B称为应变矩阵，其子块为：

B=L

i

x0Ni= y 0 Ni y 0 x Ni x 0 =0Ni

Ni y 0

Ni （i,j,m） y Ni

x

将形函数分别代入上式，最后求得应变矩阵如下：

B

bi1

0=

2A ci

cibibj0cj0cjbjbm0cm

0 cm bm

矩阵的元素取决于节点坐标，都是常数，该单元的应变矩阵是常量阵。因此，称为常应变单元—单元内应变、应力是常数。应用时一定要注意这一特点。

单元应力根据物理方程得到：

σ

σ

x

ee= σy =Dε=DBa=Sa τ xy

S=DB=D[BBB]=[SSS]

i

j

m

i

j

m

S称为应力矩阵。将平面应力或平面应变问题的弹性矩阵代入，就可以计算出应力矩

阵。

至此，已经完成了在二维弹性区域上（分片）假设可能位移场，并准备好计算系统的总势能。

4、利用最小总势能原理建立有限元方程

弹性力学平面问题的总势能泛函表达式如下：

Πp=∫

1T

Dεtdxdy ∫uTftdxdy ∫uTTtdS 2 Sσ

其中 t是弹性体厚度；

f是二维体积力；

T是二维边界上的面力。

对于上述在整个求解区域上分片假设的位移场，或者离散模型，对上述势能泛函进行分片计算（每个单元上积分）并求和：

eT1T eT e T= a∫BDBtdxdya ∑ a∫Nftdxdy Πp∑ e2 e

e e eT T

∑ a∫eNTtdS

sσ

e

令：

Te

，称为单元刚度矩阵； BDBtdxdy=K∫ e

∫N

eSσ

T

ftdxdy=Pbe，单元体力等效节点力；

Te

NTtdS=PS，单元面力的等效节点力； ∫e

P

e

=Pb+PS 称为单元等效节点载荷列阵。

ee

将上述定义的矩阵符号代入势能表达式得：

e eTee 1eT

= ∑∑aaaΠpe 2K ePb

1eTeTeeTeee

∑aPS=∑(aKa) ∑(aP)

2eee

()

()

参考前面受轴向力杆的例题，对上式作如下形式上的处理，把单元相关的矩阵（包括列

阵）变换到整体规模（矩阵的尺寸等于系统节点自由度总数），即：

1) 对单元刚度矩阵Ke和等效节点载荷列阵Pe，根据单元局部节点编号i, j, m所对

应的整体节点号，重新产生具有结构总自由度规模的相应矩阵：Kem和Pem； 2) 势能表达式中的单元节点位移列阵a换成结构整体位移列阵a

e

那么，上式立刻成为：

Πp=

1TTemem

(∑K)a a(∑P) a2ee

式中，令：K=

∑K

e

em

，称为结构整体刚度矩阵（总刚度矩阵）；

P=∑Pem，称为结构节点载荷列阵。

e

则总势能写成：

1T

Πp=aKa aTP

2

这就是用求解区域上所有离散节点未知变量（节点位移）来表达的系统总势能泛函。 应用最小总势能原理，由驻值条件δΠp=0，即：程：

Πp a

=0，得到有限元系统平衡方

Ka=P

该方程反映了有限元离散结构的总体平衡，即每个节点处的平衡。

5、单元刚度矩阵及其性质

对于三节点三角形单元，应变矩阵是常数，所以单元刚度矩阵计算如下：

对于平面应力问题，其一个子块计算如下：

( r,s=i, j, m) 其中

由上述子块计算公式，立刻得到：

(Ksr)=K

T

rs

所以有： 性质1：对称性

为了考察单元刚度矩阵的物理意义，用最小势能原理建立有限元结构中一个单元的平衡：

KaP

=

eee

单元节点位移和单元节点载荷分量为：

因此，单元平衡方程的展开形式为：

方程反映了单元节点力的平衡—节点上外载荷和单元节点内力的平衡。 如果令a1=1(ui=1),a2=a3= =a6=0，由上式得到：

K11 P1 K P 21 2

=

a1=1 P6 K61

所以，单元刚度矩阵第一列元素的物理意义是，第一个自由度位移为1，其它自由度位

移为0时，要保持平衡须加在单元各节点自由度方向节点力分量。这些节点力组成平衡力系。

因此有： K11

+K31+K51=0+K41+K61=0

K

21

其它列元素的物理意义可以用同样的方法理解，都代表一个平衡力系。由此容易推出单元刚度阵的另一个性质：

性质2：奇异性

因为单元刚度矩阵行列式的值为0。

奇异性的物理解释：单元受满足平衡的节点力Pe作用时，不能确定单元的节点位移。因为单元上可以迭加任意的刚体位移。

单元刚度矩阵的另一个性质： 性质3：主元恒正

物理含义：使单元在某自由度方向产生一定位移，必须施加相同方向的节点力。

6、单元等效节点载荷列阵

对平面问题，单元载荷主要有两类：体力和面力 相应的等效节点力计算式已经得到： 体力： Pb=Nftdxdy

e

e

∫

T

面力： PS=

e

Te

=NTtdSPS∫eSσ

其中，f和T分别为平面问题的体力集度分量列阵和面力集度分量列阵。 对不同形式的单元载荷，需按上式计算积分。

计算要点：形函数和体力面力用与积分变量相同的参数表示，参见书上例题。

7、结构总刚度矩阵和结构总节点载荷列阵的组集

依据下列公式：

K=∑K

e

em

em

=∑PP

e

关键是如何把单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵转换成其扩大形式：Kem和Pem