“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订

“有限元法原理及应用”讲义

顾克秋 编

南京理工大学 2013年9月修订

目 录

第一章 引 论 ................................................................................................................................ 1

一、概述 ................................................................................................................................... 1 二、最小总势能原理 ............................................................................................................... 1 三、瑞利-里兹法 ..................................................................................................................... 5 第二章 弹性力学有限元法基本原理（一） ................................................................................. 7

第一节 里兹法的有限元形式 ............................................................................................... 7 第二节 常应变三角形单元的有限元格式 ......................................................................... 11 第三章 弹性力学有限元法基本原理（二） ............................................................................... 21

第一节 有限元解的性质和收敛准则 ................................................................................... 21 第二节 矩形单元和高精度三角形单元 ............................................................................... 24 第三节 轴对称单元的有限元 ............................................................................................... 27 第四章 弹性力学有限元法基本原理（三） ............................................................................. 29

第一节 空间问题的有限元 ................................................................................................... 29 第二节 等参单元的概念和原理 ........................................................................................... 31 第三节 等参单元中的数值积分 ........................................................................................... 35 第五章 有限元法应用专题 ........................................................................................................... 38

第一节 应力计算结果的处理 ............................................................................................... 38 第二节 有限元模型内部约束处理 ....................................................................................... 39 第三节 有限元法应用中的其它问题 ................................................................................... 43 第四节 结构有限元建模与分析概要 ................................................................................... 43 第六章 动力学问题的有限元法 ................................................................................................... 45

第一节 动力学问题概述 ....................................................................................................... 45 第二节 动力学问题的有限元方程 ....................................................................................... 46 第三节 质量矩阵和阻尼矩阵 ............................................................................................... 47 第四节 结构自振频率和振型 ............................................................................................... 48 第五节 瞬态响应分析 ........................................................................................................... 50

第一章 引 论

一、概述

本课程以弹性力学有限元法引入有限元位移法的基本原理、基本方法以及有限元法应用方面的有关专题内容。

弹性力学问题的有限元法中，除了离散化和分片插值思想外，基础是弹性力学的变分原理（最小势能原理）和变分解法瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz）。

瑞利-里兹法是一种将求解未知连续场问题转化为有限自由度问题的近似解法。在连续体力学问题中应用的最广泛形式是采用假定位移场，并结合势能泛函进行变分求解，前提是最小势能原理。

因此，首先需要研究弹性系统的势能和最小势能原理。

二、最小总势能原理

一个“系统”是一个结构加上作用其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功

系统总势能是对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。

系统总势能用符号 Πp 表示，当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函数的泛函。对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。

“可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。

为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势能定义为0，则在任何可能构形上外力的势能就是“0 － 外力所作的功”。

举例：对于一个图1-1所示，一端受集中力P，具有刚度k的单自由度线性弹簧系统。

图1-1 单自由度弹簧系统

该系统Πp的表达式如下：

Πp=

1

kD2 PD 2

D为弹簧伸长（可能位移）。

此时，势能泛函退化为位移的二次函数。Πp与D之间的函数关系曲线如图1-2所示。注意：对弹性梁、板壳、一般 弹性体等结构（无限自由度问题），势能泛函的表达式包含关于位移函数及其导数的积分式（构造过程中，将用到几何方程和应力-应变关系）。

对于一个给定的系统，其真实构型（位移场）是确定的，必是“可能位移”中的一个。如何确定这个真实位移？

最小总势能原理：

一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使总势能取最小值。 也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。

理论上可以证明，对于弹性结构，“可能位移”满足势能驻值条件（最小势能原理）与满足力平衡条件是等价的。 讨论：

1、利用图1-1、图1-2对最小势能原理进行理解。

设平衡状态的位移为Deq，根据上述分析，Deq由“Πp取最小值”这一条件来确定：

图1-2 单自由度弹簧系统总势能曲线

在Deq附近，D发生微小变化，而Πp几乎不变（一阶变分为0），在图1-2中这一点显然是Πp的最小值点。

驻值条件用数学语言描述如下（用微分代替变分）：

dΠp=kDeqdD PdD=0

所以： Deq=

P

k

该结果与静力学平衡求出的结果相同。进一步理解；对于复杂的弹性系统，总势能最小点对应的是系统平衡状态。 …… 此处隐藏：3813字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……