高等数学 习题册解答_7.微分方程(青岛理工大学)(3)

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y a 1 xlnxlnx

1

dx 1 xlnxdx C y exlnx C a1 e ax lnx lnx

C

的通解。 y ax lnx

dy2. xy x3y3 0 dx

du

解：令u=y-2，则 2xu 2x3

dx

2xdx 3 2xdx2x2 u edx x 1 Ce C 2xe

通解y 2 x2 1 Cex 即y2x2 1 Cex 1 3.y -ay 2=0, y(0)=0,y (0)= -1 解：令y =p,即p =ap2=0得p

1

代入初始条件得

ax C1

12

2

2

y

1

a

ln(ax 1)4.y +2y +y=cosx，y(0)=0,y x 0 2

解：r2+2r+1=0 r1,2= -1故Y=(C1+C2x)e-x

+i =i不时特征根，设y*=Acosx+Bsinx是原方程的特解，代入方程得：

A=0,B=

12 y*=12sinx 通解是y=(C1+C2x)e-x+1

2

sinx 代入初始条件得C1=0,C2=1,特解为y=xe-x+1

2

sinx

四（10分）设可导函数 (x).满足 (x)cosx 2 x

(t)sintdt x 1，求 (x).

解：求导得 (x) tanx (x)

1

cosx

(x) e tanxdx 1 tanxdx C cosx

edx

sinx Ccosx 由题设 (0)=1 C=1

(x)=sinx+cosx

五（10分）求(x+y2)dx-2xydy=0满足y|x=1=2的特解。 解：设积分因子u(x,y)

1x2

1xdx y22xy

x2dx x2dy 0

d lnx y2即

x 0

y2lnx x

C

代入初始条件得C=4

lnx y2

原方程的特解为x

4 六（12分）设f(x)具有二阶连续偏导数，f(x)=0,f (0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f (x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的解。 解：

P Q

y

x2 x

+2xy-f(x)=f (x)+2xy f (x)+f(x)=x2, f(0)=0,

r2+1=0 r1,2= i齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinx

不是特征方程的根。设f*(x)=Ax2+Bx+C,代入原方程A=1，B=0,C=-2

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f(x)=x2-2，

通解是f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2

代入初始条件f(x)=0,f (0)=1，得C1=2, C2=1 f(x)=2cosx+sinx+x2-x

求得通解x-2ysinx+ycosx+2xy+

122

xy2

=C 七（12分）设函数f(t)在[0,+ ）上连续，且满足方程：

f(t) e4 t2 f 1x2 y2 dxdy，求f(t) 2

x y2 4t2 2

f(t) e4 t2

f 1

2x2 y2 4t2

2x y2

dxdy

=e

4 t2

2

d 2t

f(r

4 t2

2t

002

)rdr=e 2 r

0f(2

)rdr

由此可得f(0)=1，且f (t)=8 te4 t2

+8 tf(t) f'(t)-8 tf(t)=8 te4 t2

这是一个一阶线性微分方程,P(t)= -8 t，Q(t)=8 te4 t2

f(t)=e P(t)dt P(t)dt

C Q(t)edt e 8 tdt C

8 te4 t2e 8 tdtdt

=e

4 t2

C 8 tdt e

4 t2

C 4 t2

代入条件f(0)=1得C=1,所以f(t)=(1 4 t2

)e

4 t2

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