高等数学 习题册解答_7.微分方程(青岛理工大学)(2)

解：是全微分方程d( + e2 )=0 通解为 + e2 =C

6、若f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L, yf(x)dx (f(x) x2)dy 0，

L

13

y C 3

求 xf(x)dx

1

解：对任意闭曲线L有 yf(x)dx (f(x) x2)dx 0，知

L

Q P

x y

由此得f (x)-2x=f(x)

解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-2

xf(x)dx

1

4 3

6

7、若 (x)是连续函数，且 (0)=1，并设曲线积分

A

, 44 (0,0)

y (x)tanxdx (x)dy与路径无关，求A

Q P

，得 (x)=- (x)tanx

x y

解：曲线积分与路径无关

解得 (x)=Ccosx,又因为 (0)=1得C=1所以 (x)=cosx

A

, 44 (0,0)

y (x)tanxdx (x)dy

4

2

0dx 4 cos dy

04 8

§6 可降阶的高阶微分方程 1、yy +y 2=0满足初始条件y|x=0=1，y |x=0= A. y2

y x 1 C. y

2、方程xy =y lny 的通解为（ ）

y

1

的特解为（ ） 2

x 1 C D. y2=C1x+C2

1C1x

e C2 B.y C1ec1x C2 C1

1

C.y C1eCx C2x D.以上都不对 3、 (1) 求y =y +x的通解

x2

x C2 解：令y =p得p -p=x p=-x-1+C1e y C1e 2

x

x

(2) 求xy +y =0的通解 解：令y =p，则xp +p=0

Cdpdx

得 p 1 y=C1lnx+C2

pxx

4、求下列方程所满足初始条件的特解 (1) yy +(y )2=0 , y(0)=1 , y'(0)=

1

2

解：由yy +(y )2=0得(y y) =0, y y=C1 又y(0)=1 , y'(0)= (2) y3y +y =0

11

得C1= y2=x+C2 代入初始条件得C2=1， y2=x+1 22

C1x

解：令y =p，则xp +p=0 解得p y=C1lnx+C2

1

2

5、求y2y +1=0的积分曲线方程，使其通过点 0, 且在该点处切线的斜率为2 解:y2y +1=0 ,y|x=0=

1

, y |x=0=2 2

7

令y =p，y p

dpdy

，方程化为y2p

dp

1 0 dy

p211

C1，由y|x=0= , y |x=0=2得C1=0 解得：2y2dy dx

21 1 2

解得y2 2x C2 y3 3x

2 2 3y

3

2

x1

6、设在x>-1时所定义的可微函数y(x)满足y (x) y(x) y(t)dt 0，及

1 x 0

y(0)=1，求y (x)

解：原方程化为(x+1)(y (x)+y(x))= y(t)dt

0x

令y (x)=p则有(x 1)

dp

(x 2)p 0 dx

解得：ln|p|=-(x+ln|x+1|)+C由y (0)=-y(0)=-1,p|x=0=-1得C=0

y (x)

1

e x x 1

15x

e是方程y -3y +2y=e5x的通解 12

§7 高阶线性微分方程 1、证明：y C1ex C2e2x

2、已知二阶线性非齐次方程y +p(x)y +q(x)y=f(x)的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求 方程满足初始条件y(0)=1,y (0)=3的特解。

解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y +p(x)y +q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y +p(x)y +q(x)y=0的解。得齐次方程的两个解：ex-x,e2x-x，且线性无关。于是齐次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x). 非齐次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x). 由y(0)=1，y (0)=3代入得：C1= -1, C2=2 所以特解为y=2e2x-ex §8 常系数齐次线性微分方程

1、设y=ex(C1sinx+C2cosx) (C1,C2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程

）

A.y +2y -2y +2y=0 C.y -2y =0 D.y +y=0

2、设y

1=excos2x,ysin2x 都是方程y +py +qy=0的解，则（ ） 3

r1,2= -1,r3,4= i，则此方程通解为 （ ） 1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinx B.y=C1e-x+C2cosx+C3sinx

8

C. y=C1e-x+C2cosx+C3xsinx D.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx

4、求下列微分方程的通解 (1) y -4y +13y=0

解：r2-4r+13=0 r1,2=2 3i y=e2x(C1cos3x+C2sin3x)

(2) y +25y=0 解：r2+25=0 r= 5i y=C1cos5x+C2sin5x

d2sds

(3) 2 2 s 0

dtdt

解：r2+2r+1=0 r1,2=-1 y=(C1+C2t)e-t (4) y(4)-2y +5y =0

解：r4-2r3+5r2=0 r1,2=0,r3,4=1 2i y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x) 5、求下列初值问题的特解

y +( 1+ 2)y + 1 2y=0 ( 1 2且为实数)满足y(0)=0,y (0)=1 解：r2+( 1+ 2)r+ 1 2=0 r1= 1 r2= 2

通解为y C1e x C2e x 由y(0)=0,y (0)=1

1

2

得：y

11

e 1`x e 2x

1 2 1 2

6、一单位质点受一力的作用沿x 轴作直线运动，该力与M点到原点O的距离成

正比（比例系数为4），介质的阻力与运动速度成正比（比例系数为3），求该质点的运动规律，设开始时质点静止并且距原点1cm

d2xdt2

4x 3

dxdt

x

C1et C2e 4t x

15

(4et e 4t)

§ 9 常系数非齐次线性微分方程 1.、方程y

为常数）的特解形式为y*=( ) 2(Acos4x-Bsin4x)

2.、设函数y1,y2,y3都是线性非齐次方程y +p(x)y +q(x)=f(x)的特解，则函数y=(1- C1-C2)y1+C1y2+C2y3( )（C1,C2为任意常数） A. 是所给方程通解

C. 是所给方程的特解 3 、方程y -2y =xe2x

）

A. y*=Axe2x B. y*=(Ax+B)e2x2x D. y*=x2(Ax+B)e2x

9

4. 求解微分方程y +2y +2y=e-xsinx 解：对应的齐次方程：y +2y +2y=0 特征方程r2+2r+2=0 r1,2= -1 i

齐次方程通解为：Y=e-x(C1cosx+C2sinx)

由于 i=-1 i是特征方程的根，设y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得：

1

,B=0 2

1

即y*= xe-xcosx

2

A=

原方程通解为y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx) 5. 求解初值问题y +9y=cosx ,yx y x

2

2

1-x

xecosx 2 0

解：由y +9y=0得：r1,2= 3i

所以齐次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x

由于 i=i不是特征方程的根，设y*=Acosx+Bsinx代入原方程得： A=, B=0，即Y=cosx 通解为y=C1cos3x+C2sin3x+cosx 由初始条件得特解y

11

cos3x cosx 248

1

8

1818

6. 求特解：y -y=4xex，y|x=0=0,y |x=0=1

解：r2-1=0 r1,2= 1，所以y -y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x

因 =1是特征方程的单根，设y*=xex(Ax+B)是原方程的一个特解，代入原方程得：

A=1,B=-1 即y*=ex(x2-x)

原方程的通解为：y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x) 代入初始条件得：C1=1,C2=-1 所求特解为：y=ex(x2-x+1)-e-x 7. 求y -4y=e2x的通解

8、证明：y C1eC 3x 1是方程y -9y=9的解，但不是其通解，C1,C2为任意常 数

证明：y C1eC 3x 1代入方程使方程成立，是方程的解。

2

2

又因为y C1eC 3x 1只有一个常数。所以不是方程的通解。 …… 此处隐藏：3101字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……