高等数学 习题册解答_7.微分方程(青岛理工大学)

第七章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2

）的解。

A. (x-2y)y =2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2

y=Cx+C2 ) 所满足的微分方程 （ ） +y 2 B.y=Cx+y 2 C. xy +y 2=C D. y =xy +y 2

3

y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y |x= =1，则C1,C2的值为（ ） 1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1= , C2=0 D. C1=0 , C2=

1

写成以y为自变量，x为函数的形式为（ ） 2x y

dy1dx1 A. B. =2x-y D. y =2x-y

dx2x ydy2x y

4.

微分方程y =

5. 已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2) y|x= =1,y |x= =0, 确定C1, C2 解：y=C1sin(x-C2), y =C1cos(x-C2) 代入y|x= =1,y |x= =0得C1=1,C2=2k +

2

6 .设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点 (-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。 解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则

dyy (1 vt)

dxx

d2ydt

1 整理可得：x2 v ○

dxdxds dy dx 而2v dtdxdt

2

有

dt1 dy

2 ○

dx2vdx

2

其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。

d2y1 dy 2代入○1得：x2 将○ 0

dx2dx

初始条件：y(-1)=0, y (-1)=1

§2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

1

A.可分离变量的微分方程

一阶微分方程的对称形式。 C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)

dyP(x,y)

2、方程xy -ylny=0的通解为（

A y=ex B. y=Cexcx D.y=ex+C 3、方程满足初始条件：y =e2x-y , y|x=0 ）

e2x 11

A. e=e ln C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C

22

y

4、已知y=y(x)在任一点x处的增量 y x ，且当 x 0时， 是 x 2

1 x

y

2x

的高阶无穷小，

y(0)= ,则y(1)=( ) A. 2 B. C. e4 e4 5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=解：分离变量为tanydy=tanxdx

即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC cosy=ccosx

代入初始条件：y|x=0=

2

得：C

24

4

特解为：2cosy=cosx

dy1x y

满足y(0)= 的特解。 cos x y cos

dx22

dyx yx ydyx

解：由 cos cos 0得： sin

ydx2222sin

2

yyx

积分得：lncsc cot 2cos C

2x2

6、求微分方程

代入初始条件：y(0)= ，得C= -2

0满足y(0)=0的特解 7、求微分方程yy e

8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为

100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。

解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙

/

2x y2

壁中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得：

dv1

又 kv2v

dtkt C

2

v(0)=v0=400.解得C=

1400

v

400

400kt 1

可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知 T0

v(t)dt 0.2 即： T

0v(t)dt

T

400dt400kt 1 1k ln(400kt 1) T

10

0 k

ln(400kT 1) 0.2

e0.2k=400kT+1 (*)

由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即

v(T)

400

400kT 1 100，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即

T

3

400ln2

§3 齐次方程

22)dx-xydy=0，其通解为（ ） 22=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) =2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C 2.y

xy y

x

, y|x=1

=2，则特解为（ ） A. y2=2x22=2x2(lnx+2) 3. x 1 2ey x

dx 2ey x

1 y dy 0的通解为（ ） x

x

A. x=2y+C B. xyey

2 2yey C D.以上都不对 4、求y x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。

2

解：y y

yy x

x,令x u，则

dudxu(u 2) x解得：y 2x

1 x

2

5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

dyx2 2xy y2

解：

ydx y2 2xy x2

,

令u

x

du u3可得xdx u2 u 1u2 2u 1

2

解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)

即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y

6、求初值问题 y x2 y2

dx xdy 0(x 0)

的解

y|x 0 0

dy2

解：原方程化为

dx yx y

x

令y=xu这里可得：

du u2

dxx

lnu u2

lnx lnCu u2 Cxy y2

x

x Cxy

x2 y2 Cx2

将y|x=1=0代入的特解为y x2 y2 x2或y

121

2x 2

7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距

解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y (X-x) 又x2 y2 x

yy

2

得 x 1 x dx,令x y

ydyu y整理得： ydu

u2 dy

解得：lnu u2

lny C 得通解x x2 y2 C 六、求y

x 2y 1

2x 4y 1

的解。

解：令u=x+2y，则u =1+2y'

12(u 1)

u 1

2u 1

3

2u 1

u

du 4dx 2u-lnu=4x+C

2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C §4 一阶线性微分方程

1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ） A. y 1 13 y2

1 3y C x 1 13

y2

1 3y C

C. y

1 1x2 1 3y3 C

D. x 1 13 y2

1 3y 2、微分方程xy +2y=xlnx满足y(1)= 1

9

的解为（ ）

A. y 13xln

x 111

9xy 3xlnx 9

x

C. x2y C 111

3x3lnx D. y

3lnx 9

x

3、y +y=y2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Cexx-sinx C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C

4、求 通解 x

dydx 3

2

y x2.y 解：xy 1

2

2

3dy 32y3 x2，令z y3得x3dz2dx 32

z x2dx dz 1z 2x2dxx3

1z e xdx C 213x2e xdx

2

y3

1 x 2 3 14x3 C

即y2 1C

6x2 x

2.xdy-ydx=y2eydy 解：整理得

dxdy 1

y

x yey

4

x e

1 dy

y

1 dy

C yeyeydy yey C

5、求 通解 …… 此处隐藏：2617字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……