【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强(3)

A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝

12

x0＋14

S△APQ＝PQ|d＝x20－4y0x0－4y0

1

212

3

12

＝(x0－4y0) 2 2

33

1212

＝(x0－4x0＋8) 2 ＝[(x0－2)＋4] 2 22

当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．

3

(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲

4线C.

(1)求曲线C的方程；

→→→→

(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|OM－ON|＝|OM＋ON|，是否存在以原点为圆心且与

MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)设P(x，y)，

3

则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，

4

y3²x≠±2)， x＋2x－24

整理得曲线C＋＝1(x≠±2)．

43→→→→→→(2)若|OM－ON|＝|OM＋ON|，则OM⊥ON. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．

y

x2y2

x1y1→→y1－y1

由OM⊥ON得＝－1，又＋1.

x1x143

解得直线MN方程为x＝±

12

.原点O到直线MN的距离d＝7

12. 7

22

若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.

y＝kx＋m 22由 xy

＋＝1 43

得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.

222

－8km4m－12

∴x1＋x2＝2，x1²x2＝2(*)

4k＋34k＋3

→→y1y222

由OM⊥ON得＝－1，整理得(k＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m＝0.

2

x1x2

代入(*)式解得7m＝12(k＋1)．

此时(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0中Δ>0. 此时原点O到直线MN的距离

2

2

2

22

d|m|

k2＋1

127

12

.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程7

故原点O到直线MN的距离恒为d＝1222

为x＋y＝.

7