【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强(2)

3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值d＋r，最小值d－r；直线与圆相交，则最大值d＋r，最小值0.

4．P(x，y)为⊙O上一动点，求x、y的表达式(如x＋2y，x＋y等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．

二、填空题

10．(文)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦长为3，则m＝________.

[答案] 0

2

2

2

2

[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d|m＋1|

m＋1

＝1，解得m＝0.

1222

(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA＋sinB＝sinC，则直线

2

ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．

[答案] 27

1222

[解析] 由正弦定理得a＋b＝c，

2∴圆心到直线距离d＝

|c|

a＋b

22

＝

c

2， 12c2

∴弦长l＝r－d＝29－2＝7.

11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

[答案] (－13,13)

[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题． 要使圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y

＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．

2

2

2

2

即

|c|12＋5

2

2

，解|c|<13，

∴－13<c<13.

12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x＋y＋2ax＋ay＋2a＋a－1＝0相切，则实数a＝________.

[答案] －1

[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a＋a－1＝0，∴a＝－1或－2. 当a＝－1时，x＋y－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x＋y－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.

三、解答题

13．(2015²福建文，19)已知点F为抛物线E：y＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. 2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．

(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．

[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.

2

因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y＝4x.

2(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，

所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)． 由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)． 由

2

p

p

2

y＝22 x－1 ， y2＝4x，

得2x－5x＋2＝0，

2

11

解得x＝2或x＝，从而B(2)．

22又G(－1,0)，

2－022－2－022

所以kGA＝kGB＝＝－，

2－ －1 313

－ －1 2

所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．

法二：(1)同法一．

(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，

所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)． 由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．

2

由

y＝22 x－1 ， y2＝4x，

得2x－5x＋2＝0.

2

1 1 解得x＝2或x＝，从而B 2 . 2 2

又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋22＝0， |22＋22|42

从而r＝ .

8＋917

又直线GB的方程为2x＋3y＋22＝0，

2＋2|2

所以点F到直线GB的距离d＝＝r.

8＋917这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切． 14．(文)已知圆C：x＋y＝r(r>0)经过点(13)． (1)求圆C的方程；

→

(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系OM1→3→

＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存22在，请说明理由．

[解析] (1)由圆C：x＋y＝r，再由点(13)在圆C上，得r＝1＋(3)＝4， 所以圆C的方程为x＋y＝4.

(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． ①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，

y＝k x＋1 ＋1，联立 22

x＋y－4＝0.

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

消去y得，

(1＋k)x＋2k(k＋1)x＋k＋2k－3＝0，

2k k＋1 2－2k由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋22

1＋k1＋k

k2＋2k－32k－4

x1x2＝＝1＋22

1＋k1＋k

y1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝

因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上， 因此，得x1＋y1＝4，x2＋y2＝4，

3x1＋3x2y1＋3y2→1由OM＝＋得，x0＝，y0＝，

2222

2

2

2

2

2k＋4

2－3， 1＋k

由于点M也在圆C上，则(整理得

2

x21＋y1

x1＋3x2

2

＋(

2

y1＋3y2

2

＝4，

2

4

2

x22＋y2

4

33

x1x2y1y2＝4， 22

2k－42k＋4

即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋(3)＝0，

1＋k1＋k从而得，k－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为

2

y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.

②若直线l的斜率不存在，

－1－33－3

则A(－1，3)，B(－1，－3)，M()

22(

－1323－32

)＋)＝4－3≠4， 22

故点M不在圆上与题设矛盾，

综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.

(理)已知圆O：x＋y＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

2

2

椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点

O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；

(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

[解析] (1)因为a2，e＝

2

c＝1， 2

则b＝1，即椭圆C＋y＝1.

21

(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝

2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)． x2

2

∴kPQ＝－1，kOP＝1， ∴kOP²kPQ＝－1， 即OP⊥PQ，

故直线PQ与圆O相切．

(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，

则y0＝2－x0，kPF＝

2

2

x0＋1

kOQ＝－， x0＋1y0

x0＋1

x， y0

y0

∴直线OQ的方程为y＝－2x0＋2

∴点Q(－2)，

y0

y0－

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