第二章___弹性力学基本理论new(4)

δγxy=δ + ， δγyz=δ + ，δγzx=δ +

yxyz x z 这样，当虚位移产生时，单位体积的应变能V0的增量为δV0

有 δV0=

V0 V V V V V

δεx+0δεy+0δεz+0δγxy+0δγyz+0δγxz εx εy εz γxy γyz γxz

这里，在应用虚功原理时，在虚位移过程中，各作用力都当作常量：主动力和应力。 整体的应变能

δV=∫δV0dV=∫δV0dxdydz=∫ VVV

V0 εx

δεx+

V0 V V V V

δεy+0δεz+0δγxy+0δγyz+0δγxz dxdydz εy εz γxy γyz γxz

当外力在虚位移上作正功时，应变能是抵抗外力做功，所以应变能的改变是作负功。 当外力为集中力{P}，面力fs，体力fb，虚位移为δ*时，虚功原理可以表达为： 当外力为集中力，面力，体力{P}，f虚功原理可以表达为：

{}

{}

s

{}

{}，{f}时，虚位移为{δ}

b

*

{δ}{P}+∫{δ}{f}dS+∫{δ}{f}dV ∫δVdxdydz=0

*T

*T

s

*T

b

S

V

V

换言之，在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了约束允许的任意虚位移，这时外力在虚位移上所作的功等于虚位移发生时，引起弹性体的应变能的增量，即等于整个体积内应力在虚应变上做的功。可以证明：

∫δVdxdydz=δV=∫(σδε

V

V

x

x

+σyδεy+σzδεz+τxyδγxy+τyzδγyz+τxzδγxz)dxdydz

即：

V V V V V0 V

=σx 0=σy 0=σz 0=τxy 0=τyz 0=τxz 成立

εy γxy γyz εz γxz εx

1

(σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx) 2

思路：∵ V0=

现在我们设法将V0表达成{ε}的函数，以便使 δV0=

V0 V V V V V

δεx+0δεy+0δεz+0δγxy+0δγyz+0δγxz，以证得等式的成立。 εx εy εz γxy γyz γxz

显然，这可以利用物理方程，即胡克定律，将V0中的{σ}用{ε}来表示即可实现。下面我们证明：