第二章___弹性力学基本理论new(3)

x E yxyxyExy 其他五个协调方程的推导从略。

这就是用应力表示的协调方程。从以上可看出，协调方程（相容方程）中，只含应力分量的二

次微分。很明显，当应力（应变）是常量，或是坐标的线性函数时，相容性方程就是自然满足的。 以后我们可以看到，当采用近似函数来表达位移函数时是存在是否符合协调性方程的问题的。 u=u0+Ax+By+Cz

当位移法求解中的位移函数取坐标的线性函数： v=v0+Dx+Ey+Fz 所以自然满足协调性方程。

w=w0+Gx+Hy+Iz

有限元法是位移法求解，如果求得了位移函数，则求得u后再求ε=2．位移变量中刚体位移分量的存在

(1). 即使应变分量为0，也存在刚体位移分量。

u

，σ=Eε肯定解是唯一的。 x

有限元讲义

u

即， 即使{ε}＝{0}时，也有{δ}= v ≠{0}

w

u x v y

εx

z ε

y

uv + εz

证明： 由几何方程 {ε}= = y x

γxy

vw γyz +

z y γzx

wu + x z

可知当弹性体位移分量u,v,w完全确定后，应变分量{ε}就被完全地确定了。但是反过来若{ε}被确定后，位移分量却不能被完全确定。我们分别考察正应变为0和剪应变为0的情况。

u

x=0

u=u(y,z)+u0

v

=0 时，只说明 v=v(x,z)+v0，即u中 不含x，v中 不含y，w中 不含z。 (a). 当 y

w=w(x,y)+w0

w

=0 z u v y+ x=0 γxy=0

v w

+=0 。由此可知， (b). 又有 γyz=0 进而 又有

z y γ=0

xz

w u

=0 +

x z

u是y的一次函数，v是x的一次函数， v又是z的一次函数，w是y的一次函数， w又是x的一次函数，u又是z的一次函数，

u=u(y,z)+u0=Ay+Bz+u0

综合(a)和(b)， 有 v=v(x,z)+v0=Cx+Dz+v0

w=w(x,y)+w=Ex+Fy+w

00 u v

y+ x=0 u=Ay+Bz+u0 A= C v w 又由 +=0 得 D= F v= Ax+Dz+v0

w= Bx Dy+w B= E z y

0 w u

+=0 x z

有限元讲义

这说明即使{ε}=0,在弹性体的位移分量中也包含常位移(u0,v0,w0)和线性位移分量(Ay,Bz)在

u中, ( Ax,Dz)在v中, ( Bx, Dy)在w中。

这一客观存在的事实说明，在我们设计的位移近似函数中必须包含这些分量。即常位移分量和线性位移分量。否则，就不能反映这一客观规律。 (2). A,B,D,u0,v0,w0的几何意义 下面来考证A,B,D,u0,v0,w0的几何意义。 (a) 首先来考虑u0,v0,w0

① 令u0≠0，而其它系数均为0，此时有u=u0，这表明弹性体只作X轴方向的平移，各处位移相等。故u0表征弹性体作X方向的刚体位移。

同理, 令v0≠0而其它系数均为0时，弹性体作Y方向的刚体位移。 令w0≠0而其它系数均为0时，弹性体作Z方向的刚体位移。 总之，u0,v0,w0的存在说明当{ε}=0时，弹性体还可以存在刚体位移。 （b）再来考察A，B，D的几何意义： ① 令A≠0而其余各系数均为0。

u=Ay

此时有 来考察弹性体中任一点M的运动：M=M(x,y)

= xvA

使M点运动到M点，

'

u=Ay

如图2-7所示。

v= Ax

（a）系数A的作用 （b）系数B的作用 （c）系数D的作用

有限元讲义

图2-7 位移分量中的刚体转动

显然MM=Ar，且MM'⊥OM ∵α＋β=900,∠OMM'=α+β=900 说明M点沿r的切向运动，运动角速度wz， wz=

'

()

MM′Ar

==A rr

∴ A表征弹性体绕Z轴的刚体转动角速度，且方向为沿Z轴负方向。 同理 ② 当B≠0，其他系数都为0时， 有

u=Bz

u,w在X，Z平面内

w= Bx

∴ B表征绕Y轴的刚体转动，且沿Y轴正向，wy=B

v=Dz

③ 当D≠0，有 v,w在Y，Z平面内

w= Dy∴ D表征绕X轴负方向的刚体转动，wx=D

结论：∴u0,v0,w0表征刚体平移，A,B,C表征刚体转动。 需要认识的几个问题

① 弹性体的变形中，微元体发生的运动形式包括：

a） 本身的变形（正应变、剪应变）

b） 客观位移（由于其它微元体的变形而引起的牵连运动，——刚体位移。即使它本身不

变形）即使{ε}={0}也会存在刚体平动和刚体转动。

② 在弹性体的应变、应力之间存在着协调关系，即6个应变分量（之间）不是相互独立的，存在协调关系。

③ 在应变、应力分量中存在常应变、常应力。

上述几点是在构建位移近似函数时必须考虑的因素，以便得到反映实际变形规律的近似函数。 3. 虚功原理（虚位移原理） （一）分析力学的回顾——理论力学

1）虚功原理，虚位移原理亦称为可能位移原理。

它是解决分析力学系统平衡问题的普遍原理。根据这一原理可以解决任何具体机械系统的平衡问题，（在理论力学中，一个物体的平衡方程∑F=0, ∑M=0有6个方程来求解主动力与约束力之间的关系）。n个物体组成的系统就有6n个方程，而对大多数机械来说，并不需要知道约束力有多大，而只需要注意有用阻力和主动力。在弹性力学中，一个弹性体的主动力与位移之间的关系就有15个方程，因此求解就非常不容易。人们在实践中发现，当一个系统平衡时，若给系统一个约束所允许的小位移，则外力在这个位移上做功之和为零。使问题的求解变得非常简单。 虚位移原理的描述：

有限元讲义

在理论力学中：对于受双面理想约束的系统，它平衡的充分，必要条件是所有主动力在任一组可能位移上所作的可能的功之和为零。（即虚功＝0）∑Fiδri=0 Fi为主动力， δri为虚位移。所谓

i=1n

理想约束是指在这种约束下，约束力所作的可能功之和为零。∑Niδri=0，Ni——理想约束。

i=1

m

2）约束和约束力：约束以外的力称为主动力。

约束：事先对系统的位置、速度所加限制。在静力学中讨论对位置的约束，而对速度的约束则在动力学中讨论。

约束有单面约束和双面约束之分。单面约束：如摆，若采用柔绳约束，则约束方程为

x2+y2≤l2，小球(x,y)向圆外运动受限制，而向圆内运动不受限制。而双面约束：若将绳换成刚

性体，则有小球的运动轨迹为x+y=l。这种刚性约束称为双面约束。约束的作用力称为约束力，其大小方向取决于运动状态和其它的作用力。 3）可能位移和可能功：

可能位移：

满足约束条件的微小位移，而且是在t时刻瞬间发生的——δr，对于n个质点组成的系统，各点位置为xi,yi,zi(i=1,2 n)，若有l个约束，则约束方程为fj(x1,y1,z1, xm,ym,zm)=0 (j=1,2, l) 若系统各质点有可能位移δx1,δy1,δz1, δxn,δyn,δzn

则各质点位置变成 x1+δx1,y1+δy1,z1+δz1, xn+δxn,yn+δyn,zn+δzn

也要满足约束方程 fjx1+δx1,y1+δy1,z1+δz1, xn+δxn,yn+δyn,zn+δzn=0

将可能位移发生前后的约束方程相减，并用talor展开。由于δx1, δxn是微小的，可略去高阶小量。

2

2

2

()

fj fj fj

δxi+δyi+δzi =0 (j=1,2, l) 有Δfj=∑ xyz i=1 iii

n

可能功：

当给出系统的一组可能位移时，作用在系统 …… 此处隐藏：2858字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……