第二章___弹性力学基本理论new

有限元讲义

第二章 弹性力学基础理论

前言

在这一章里，我们将学习结构有限元分析方法所依赖的力学方面的基础理论知识，而不是全面介绍弹性力学的内容，也不介绍如何直接用弹性力学求解结构问题。

求解一个在载荷作用下的受约束弹性体的结构问题，属弹性力学范畴。弹性力学与材料力学和结构力学的任务都是分析结构在弹性阶段的应力和位移，但三者研究对象有所分工。 材料力学：基本只研究所谓杆状结构——长度远大于高度和宽度的构件。 结构力学：研究杆状构件组成的集合体结构，即，杆系结构。如桁架、刚架等。

弹性力学：主要研究非杆状结构，如板、壳、三维实体。弹性力学也研究杆状结构，但比材料力学精确。

以梁为例：材料力学要假设梁具有平行于图形自身平面的对称平面，即梁的横截面具有：①垂直对称轴；②载荷作用在对称平面内；③梁在横向载荷下弯曲时，具有平面截面的假定——即横截

面上的正应力按直线分布。在材料力学中净截面内应力均匀。而弹性力学无须引进这些假定。

图

2-1 材料力学中对梁结构的解析

图2-2 弹性力学中对梁结构的解析

2.1 弹性力学基本假设

基本假设是弹性力学讨论问题的基础。这些基本假设包括：

理想弹性体假设和微小位移假设。 其中理想弹性体假设包括：连续性、均匀性、各向同性和完全弹性假设。微小位移假设是指形变值远小于物体的尺寸。

超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。

1. 理想弹性体假设：

连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。这样才可以使应力、应变和位移是连续的，才可以用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。也就是说，根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。虽然实际结构都是微粒组成的，它们彼此间有间隙，但只要微粒的尺寸和它们之间的距离远小于物体的尺寸，作连续性假设就不会引起显著误差。对于工程材料，微粒尺寸和微粒之间的距离远小于物体的几何尺寸，采用这一假设并不会引起明显的误差。

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均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。因此，物体的弹性性质处处都是相同的。根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。 如果物体是由两种或者两种以上材料组成，例如混凝土，只要每一种物质的颗粒远远小于物体的几何尺寸，并且在物体内部均匀存在，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。当然对于明显的非均匀物体，例如环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。

各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，不随坐标方向的改变而变化。例如弹性模量E，泊松比μ、导热系数λ等等。

金属材料由晶体构成，虽然单晶体是各向异性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料性能显示各向同性。

木材，纤维增强材料等属于各向异性材料，对它们的研究就不属于弹性力学的讨论范围，它们是复合材料力学研究的对象。

完全弹性假设 指的是物体在引起变形的外力撤去之后完全回复到没有受力的状态。这样，物体在的变形也就是无初始应力的假设 假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。） 2. 微小位移假设：

物体受力后，整个物体各点的位移远小于物体原来的尺寸（物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。），且应变与转角都远小于1，即ε<<1，α<<1。这样就可以用变形以前的尺寸代替变形后的尺寸而不致引起显著误差，转角和应变的二次幂和乘积都可以忽略不计。如转角α和应变ε有

13

α+ ≈α3!1

sinα=α α3+ ≈α

3!

123

=1 εx+εx εx+ ≈1 εx

1+εx

tgα=α+

“最小位移假设”在以后有限元方程的建立和求解过程中起着非常重要的作用。我们常常利用函数的幂级数（泰勒级数）展开，略去高阶小量使弹性力学中的代数方程和微分方程都能简化为线性方程，且可用叠加原理进行计算。 2.2 弹性力学基本方程

求解一个在载荷作用下的受约束弹性体的结构问题，要建立外载荷与应力、变形的关系。这要通过三个步骤来实现。

首先，要建立结构外部载荷与结构内部应力的关系。外部载荷包括集中力、面力和体积力。这就是静力学平衡问题，要建立静力学平衡方程。

其次，从物理学的角度，建立材料应变与应力之间的关系。这是材料的本构关系，描述材料在不同环境下的力学性质。

最后从几何学方面入手，建立应变与位移（变形）之间的关系。

总起来说，结构在载荷作用下产生变形，我们要研究它的规律，要涉及到三类变量：应力、应变和位移。它们通过三类方程建立联系，这三类方程是平衡方程、物理方程和几何方程。下面我们来推导这三类方程。

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图2-3 求解结构问题涉及的变量及其关系

一. 平衡方程

1. 外部的平衡方程

图2-4 处于外部平衡下的物体

设物体在第一象限，在静载荷作用下处于平衡。这时外部作用力和力矩必须和支点反力和反力矩来平衡。

如图所示，物体力作用有： 体力： Px,Py,Pz (结构内部分布力)

面力：Px,Py,Pz（结构表面上的分布力—A点） 力矩： Qx,Qy,Qz（D点） 集中力：Rx,Ry,Rz（C点）

约束反力及约束反力矩：在B点处有支点处的约束反力和约束反力矩。 当物体处于平衡时，必有

∑F=0 ∑M

i

s

v

s

v

i

=0。

∑F

由 ∑F

∑F

xy

=0 ∫PxdS+∫PxdV+∑Rx=0=0 ∫PydS+∫PydV+∑Ry=0 =0 ∫PzdS+∫PzdV+∑Rz=0

s

v

z

对集中力作用点C取矩：

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∑M 由 ∑M

∑M

cxcycz

(=0 ∫(Pz=0 ∫(Psss

y

=0 ∫Pzy PyzdS+∫(PzyP PyzP)dV+∑Qx=0

v

xPzP

v

xPy

zP

y

)

Px)dS+∫(Pz Px)dV+∑Q=0 Py)dS+∫(Px Py)dV+∑Q=0

x

v

p

x

P

z

在实际工程问题中，作用在研究体上的载荷并不一定显式地直接作用在它上面，常常要通过该物体与其外界的相互作用关系的分析来获得，即通过其外部平衡方程来求得。 2. 内部的平衡方程

由于载荷的作用，在物体内部会产生应力，使其任一微元体dxdydz处于平衡。微元体处于物体。微元体每个的内部，其上没有面力和集中力作用，但是有体积力（Px,Py,Pz—以单位体积力计）

面上都作用有正应力和剪应力，它们的作用点和作用方向如图所示。注意：它们的作用方向标记如

dy

dz

dx

下：

图2.5 处于内部平衡的微元体

⑴ 正应力σ的正方向与作用面的法线方向一致。其脚标为该面法线所在的坐标轴。例如，在X面上的正 …… 此处隐藏：2679字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……