第二章___弹性力学基本理论new(2)

E

εy=1 σ μ(σx+σz)

E y

εz=1

E

σz μ(σx+σy)

其中E－弹性模量 μ－泊松比，G－剪切模量， γ1xy= Gτxy

γ1yz=τ Gyz

γ1

xz=Gτxz μ

μ εx

1 ε

μ σx y1 μ0

∴ {ε}=

ε z μ 1

σy γ =1

μxy2(1+μ)

σz E

τ xy γyz

0

2(1+μ) γ

xz

2(1+μ) τyz

τzx 1

μ

μ

μ1 μ0

弹性系数矩阵 [C]=1 μ

μ1

E

2(1+μ)

0

2(1+μ)

2(1+μ)

从而有： {ε}=[C]{σ}

G=E21+μ。

有限元讲义

有限元方程

图2-6 有限元法是一种位移法

考虑到有限元法是一种以位移为变量的求解方法,如图2-6所示。它首先建立载荷与位移的关系，解得位移后，再利用几何方程求应变，然后再用物理方程求应力。因此，我们在推导三类方程时，也要为今后的有限元分析做准备。所以，我们将物理方程变换成用应变表达应力的形式。 使 {σ}=[D]{ε}， [D]称为应力矩阵。

μμ 1 μ

μ1 μμ μμ1 μ

1 2μ E

[D]=21+μ1 2μ

0

3．几何方程

1 2μ2

1 2μ

2

有限元讲义

建立应变与变形（位移）之间的关系。即，求εx,εy,εz,γxy,γyz,γxz与(u,v,w)之间的关系。 微元体受力之后，会产生两类变化，一是由于相邻单元的牵引而发生刚体位移。二是自身在力的作用下发生变形，包括长度和角度的变化。

我们来考察微元体上的两条相互垂直的棱边的变化，变形前各边平行于坐标轴。

当dx,dy发生刚体位移(u,v)及单元变形后，发生的变化有：两棱边组成的单元OAB→O'A'B'，

()

O→O'(u,v)，A→A'，B→B'。dx→dx′, dy→dy′。

此时A点在X方向的位移为u+

u vdx，A点在Y方向的位移为v+dx

x x

同样，B点在X方向的位移为u+

u v

dy，B点在Y方向的位移为v+

dy，并且有：

y

y

u u

dx' O'C, O'C=dx+ u+dx u=dx+dx

x x

证明如下：

'

∵ dx′==OC=O'C'2AC

在微小位移的前提下，θ1 1 ， '2=tg2θ1为高阶小量。 ∴ dx′=O'C 证毕。

OC

于是我们可得到dx的正应变：按定义应有

有限元讲义

u dxdx dx+ dx' dxO'C' dx u x

εx====

dxdxdx x

∴ εx=

u

y

v+

v

dy+dy v dy

v y

=

dy y

dy' dyO'D' dy

==同理 εy=

dydy

γxy=θ1+θ2 tgθ1+tgθ2

u v u+dy uv+dx v yA'C'B'D' x =+=+

u vO'C'O'D'dx+dxv+dy+dy v x y

而 u vdydx

v u11 y+= + =

u v x u y v dx 1+ dy 1+ 1+ 1+ xx y y

=

v u+ x y

这儿又一次使用了微小位移假设。因为变形是微小的，所以，可以在计算中用变形前的长度代

u

替变形后的长度 1 1+ ，而不致引起大的误差。

x

v

v1 u

=1 ，= 我们同样还可证明

xx 1+1+

x x证明如下：

1 u u u u

=1 + + =1 x x x x1+ x

证毕。 v

2

v v u u u v= v 1 ++= + u x x x x x x x 1+

x于是，我们得到几何方程：

23

u εx= x εx=

x

v v

{ε}= εy=， 同理可得 εy=

y y

u v w+ γxy=ε= z y x z

u

u v

+ y x v wγyz=+

z y w uγxz=+

x z

γxy=

有限元讲义

从上述推导中可以看出求解固体力学的基本方程数如下：

表1 求解固体力学的基本方程数 三维问题

3 6 6 15

表2 各类问题的未知数

未知数 位移 应力 应变 未知数总数

4．应力边界条件（边界上的微元体平衡条件）

考虑一般的自由曲面的实体，边界上的单元一般不全是完整的长方体，而是四面体。其一个侧面是曲面。用平面代替。现考虑由边界上的面力作用下，该微元体的平衡。

三维问题

二维问题

一维问题

二维问题

2 3 3 8

一维问题

1 1 1 3

方程类型 平衡方程 应力—应变关系 应变—位移关系

方程总数

u,v,w u,v

u

σx,σy,σz,τxy,τyz,τxzσx,σy,τxy σx εx

3

εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx

15

εx,εy,γxy

8

准备工作：曲面用平面代替，其表面积为dS，法向量为n，其三个方向余弦为(l,m,n)

l=cosα

m=cosβ α,β,γ为n与坐标轴X，Y，Z的夹角

n=cosγ

1

2dxdy=dS cosγ=ndS 1

有 dydz=dS cosα=ldS

2 1

2dxdz=dS cosβ=mdS 现考察四面体的平衡：

由

∑F=0 (i=x,y,z)

i

∑F

x

=0，有 σx dydz +( τyx) dxdz+( τzx) dxdy+XdS=0

222

111

(σxldS+τyxmdS+τzxndS)+XdS=0 得：lσx+mτyx+nτzx=X

有限元讲义

同理有

lσx+mτyx+nτzx=X

lτxy+mσy+nτzy=Y

lτxz+mτyz+nσz=Z

这就是应力边界条件。当作用有面力时，必须考虑。 2.3 相关重要基础知识 1．变形协调性条件 （1）应变协调关系

一个物体在变形前是连续的，变形后仍将保持连续，即在物体内没有出现裂缝，也没有出现重

叠。因此位移场是连续的，也是单值的，这就是变形的协调性。也就是说，位移应是坐标的单值、连续函数。但是在几何方程中，6个应变分量是由三个位移分量来表征的，因此应变分量多于位移分量。这样，在应变分量之间必然存在着互相关联的关系，这种关系称为应变协调关系。这是一个客观存在的事实。

因此为了应变分量与协调变形一致，则这些应变之间必有确定关系。反映这种确定的关系的方程称为“协调方程”。（应变是位移的应变量，由于数量多于自变量，所以它们之间必定存在着某些互相关性，这里称为协调性。）在三维弹性问题中共有6个协调性方程。 （a）协调性方程（或相容性方程） u

=εx x

ε= v

y y

ε= w

z z

出发， 从几何方程

u v γxy=+ y x

γyz= v+ w z y

γ= w+ u xz x z

一方面，可以平面内的应变与位移的关系导出三个正应变与剪应变之间的关系。 三个平面存在三个方程。在XY平面内，找出εx,εy,γxy之间的关系，在YZ平面内，找出εy,εz,γyz之间的关系，在ZX平面内，找出εz,εx,γzx之间的关系。另一方面，可以从不同平面之间的几何方程导出其他的调性方程。 b) xy平面内找出正应变与剪应变之间的关系。

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