一维、二维、n维高斯积分

一维、二维、n维高斯积分的方法.且积分区域可以不规则.比如二维积分区域不限制于矩形区域.

一维的高斯2点复化积分

(1)、

b

2点高斯积分原型: f(x)dx

ab ab aa bb aa b[f( ) f( )] 22222(2)、

现在我们把积分区间n等分,设积分区域为[a,b],则每个区间的长度h=(b-a)/n,设区间上x的节点依次为x0,x1,x2 xn则有x0 a,h xi xi 1,xi xi 1 h(i 1,2,3 n)

(3)、

由1、2点可以推出以下结论

b

af(x)dx i 1

nnxi xi 1x xi 1xi xi 1x xi 1xi xi 1f( i ) f(i )]222232x xi hx xi hhhh f( i) f( i)]222232i 1

nhhhhh f( xi) f( xi)]23222i 12

hn

[f(xi 0.78867513459481h) f(xi 0.2113248654051h)]2i 1

在编程计算时x的值每次加一个h即可得到很完美的解.

二维的高斯2点复化积分

AB(x)

假设我们要求的积分为 dx

ab(x) f(x,y)dy(写成这种格式主要是为了

说明求解区域可以不限制于矩形区域).

利用上面的一维的高斯2点复化积分的结果我们有

一维、二维、n维高斯积分的方法.且积分区域可以不规则.比如二维积分区域不限制于矩形区域.

hmkidx f(x,y)dy { 2i 12ab(x)AB(x) [f(xj 1ni 0.78867513459481h,yi 0.78867513459481ki)

f(xi 0.78867513459481h,yi 0.2113248654051ki) f(xi 0.2113248654051h,yi 0.78867513459481ki) f(xi 0.2113248654051h,yi 0.2113248654051ki)]}其中ki [B(xi) b(xi)]，yj yj 1 ki,y0 b(xi)其中j 1,2,3 n,n是y区间的等分数,n

A am是x的积分区间的等分数,h m

同理,三维,n维变量的高斯积分均可以通过这种方法来求得.