高考数学考点分章归纳(三轮教材回归复习精品版)——平面向量

来源：网络收集时间：2026-09-14

导读：高中数学第五章-平面向量考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向

高中数学第五章-平面向量

考试内容：

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．

§05. 平面向量知识要点

1.本章知识网络结构



2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a；坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O ｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.

x1 x2

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

y y2 1

(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算

4.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b a·b＝O x1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则

＝

＋OP12 (线段的定比分点的向量公式)

1 1

1图

x y

x1 x2

,1 (线段定比分点的坐标公式) y1 y2

当λ＝1时，得中点公式：

x1 x2 x , 1 2

OP＝（OP1＋OP2）或 2 y y1 y2.

(5)平移公式

设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则OP＝+a或

x x h,

y y k.

曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理 正弦定理：

abc

2R. sinAsinBsinC

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA， 222

b＝c＋a－2cacosB， 222

c＝a＋b－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R

④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=PP aP bP c [海伦公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3

如图： A

Acb

acBFb E

DBrFIrCaE

图2 图3 图4

图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即

a b c

] 2

则：①AE=s a=1/2（b+c-a） ②BN=s b=1/2（a+c-b） ③FC=s c=1/2（a+b-c）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=

a b cab

（如图3）.

2a b c

tanA tanB

tanC，结论！

1 tanAtanB

⑹在△ABC中，有下列等式成立tanA tanB tanC tanAtanBtanC. 证明：因为A B C,所以tan A B tan C ，所以

AC2BD AB2BC

BD DC. ⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD

证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2 AB2 BD2 2 AB BDcosB ①

AB2 BC2 AC2

②，②代入①，化简在△ABC中，由余弦定理有cosB

2AB BCAC2BD AB2BC

BD DC（斯德瓦定理）可得，AD

图5

①若AD是BC上的中线，ma ②若AD是∠A的平分线，ta ③若AD是BC上的高，ha ⑻△ABC的判定：

2b2 2c2 a2； 2

pp a，其中p

b c

pp ap bp c，其中p为半周长.

c2 a2 b2 △ABC为直角△ ∠A + ∠B =

c2＜a2 b2 △ABC为钝角△ ∠A + ∠B＜c2＞a2 b2 △ABC为锐角△ ∠A + ∠B＞

2 2

a2 b2 c2

附：证明：cosC ，得在钝角△ABC中，cosC 0 a2 b2 c2 0, a2 b2 c2

2ab

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

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