四川省成都市2016届高三第二次诊断性检测 数学(理)试题带答案

·1· 成都市高2013级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理工类）

本试卷分选择题和非选择题两部分。第I 卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至 4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．

1．已知集合

．B={x||x|≤2)，则A B=

(A)[一2.2] (B)[一2，4] (C)[0,2] (D)[0，4]

2．函数f （x ）=2x +x-2的零点所在区间是

(A)（一∞, -1） (B)（一l ，0） (C)(0.1) (D)(1，2)

3．复数z=31i i

+-(其中i 为虚数单位）的虚部为 (A) -1 (B)一1 (C) 2i (D)2

4．已知某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图

不可能为

5．将函数f(x)=cos （x+6

π）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得 到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个减区间是

(A)[一

6π，3π] (B)[一3

π，53π] (C)[一6π，116π] (D)[一12π，512π] 6．某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考

试分数都在区间[loo ，128]内，将该班所有同学的

考试分数分为七组：[100，104），[104，108），

[108,112), [112,116), [116,120), [120,124),

[124，128]．绘制出频率分布直方图如图所示，已

知分数低于112分的有18人，则分数不低于120

分的人数为

·2· (A)10 (B)12

(C)20 (D)40

7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部 抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人 都抢到红包的情况有

(A)36种 (B)24种 (C)18种 (D)9种

8．在三棱锥P-ABC 中，已知PA 上底面ABC ，AB 上BC ，E ，F 分别是线段PB,PC 上 的动点．则下列说法错误的是

(A)当AE ⊥PB 时，△AEF 一定为直角三角形

(B)当AF ⊥PC 时，△AEF 一定为直角三角形

(C)当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定为直角三角形

(D)当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定为直角三角形

9．已知函数f(x)= 3,031,0

x x x x ?≥?+<?，则不等式f(f(x))<4f(x)+1的解集是

(A)(一3,0) (B)（一13，1） (C)(0,2) (D)（一13

，log 32) 10.已知抛物线y=x 2的焦点为F ，经过y 轴正半轴上一点N 作直线l 与抛物线交于A ，B

两点，且OA OB ?uu r uu u r =2（O 为坐标原点），点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形

OCAB 面积的最小值为

(A)3

(B)

(D) 32

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．双曲线22

25

x y a -=l 的一个焦点坐标为(3，0)，则该双曲线的离心率为 。 12．6

(1)x x

-的展开式中，x 2项的系数为 ．（用数字作答） 13.已知实数x ，y 满足20481x y x y x y +≥??-≤??-≥-?

，则x 2+ y 2—2x 的取值范围

是 。

14.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为

______________.

15．已知函数f(x)= x+sin2x ．给出以下四个

命题：

①?x>0，不等式f(x)<2x 恒成立；

·3· ②?k ∈R ，使方程f(x)=k 有四个不相等

的实数根；

③函数f(x)的图象存在无数个对称中心；

④若数列{a n }为等差数列，且f(a l )+f(a 2)+f(a 3)= 3π，则a 2=π．

其中的正确命题有 ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ．c ，已知

b 2 +

c 2 =3+bc ． (I)求角A 的大小；

(Ⅱ)求bsinC 的最大值．

17．（本小题满分12分）

已知数列{a n }满足a 1=1，(n+l)a n =(n-l)a n-1（n ≥2，n ∈N*）．

(I)求数列{a n }的通项公式an.

(Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：S n <2．

18．（本小题满分12分）

某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这

20个小球编号的茎叶图如图所示，

活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小

球编号是十位数字为l 的奇数，则为一等奖，奖金100元；若

抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金

50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．

现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立。

( I)求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；

(Ⅱ)记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB ＝ 90°，且AC =1，

AB =2，E 为BB 1的中点，M 为AC 上一点，23

AM AC =uuu r uuu r ． ( I)证明：CB 1∥平面A 1EM ；

(Ⅱ)若二面角C 1一A 1E-M

的余弦值为

5

，求AA 1的长度．

20．（本小题满分13分） 已知椭圆C ：22

22x y a b

+=l(a>b>0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，抛物线y 2=4x 与椭圆C 有相同的焦点，点P 为抛物线与

椭圆C 在第一象限的交点，且17||3PF =

。 (I)求椭圆C 的方程；

·4· (Ⅱ)与抛物线相切于第一象限的直线l ，与椭圆交于A ，B 两

点，与x 轴交于M 点，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于N 点，求 直线MN 斜率的最小值．

21．（本小题满分14分）

设函数f (x)=lnx ．

(I)求函数g(x)=x-1-f (x)的极小值；

(Ⅱ)若关于x 的不等式m f (x)≥

11x x -+在[1，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围； (Ⅲ)已知a ∈（0，2

π），试比较f (tana)与一cos2a 的大小，并说明理由．

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