第二章(3) 矩阵的秩

线性代数课件

第三节

矩阵的秩

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一,矩阵的秩k 阶 矩 : A ×n中任 k行 列 交 子 阵 m , 意 k 的 叉 处 素 原 序 成 元 按 顺 组 . 子 阵 行 式 k 阶 式: k 阶 矩 的 列 子 1 ≤ i1 < i2 << ik ≤ m 例: 从 m×n取 k行 列 定 A k 1 ≤ j1 < j2 << jk ≤ n ai1 j1 k阶 式 子 为 ai2 j1 aik j1 ai1 j2 ai1 jk ai2 j2 ai2 jk aik j2 aik jk

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定义2.3 如果矩阵A中不等于0的子式最高阶为r, r就称为矩阵A的秩,记为rank(A) = r 零矩阵的秩定义为0.

rank( A) = max{k : det A ×k ≠ 0} k 1 0 1 2 A = 2 0 2 4 3 0 3 6 A中有1阶非零子式,但所有2阶子式 = 0 故 rank(A)=1

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rank(A) = r A至少有一个r阶子式不为零,而所有 r + 1阶子式为零. 问题:1.若rank(A) = r,A有没有为零的r阶子式, 有没有不为零的r + 1阶子式? 2.对于m × n矩阵A,rank(A) ≤ min(m, n). 3.rank(A)=rank(AT ) 4.对于n阶方阵A,rank(A)=n det( A) ≠ 0. 此时又称A为满秩矩阵(可逆),否则称A为 降秩矩阵(不可逆).

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定理2.6 矩阵经初等变换后,秩不变.(证略)定 2.4 若 经 有 次 等 换 成 阵 , 义 A 过 限 初 变 变 矩 B 称和等 . A B 价

定 2.7 理 (1) 若 与 等 A B 价,则 rank( A) = rank(B) (2) A与A 自身 等价 (3) 若 与 等 A B 价,则 与 等 B A 价 (4) A与B等价 B与C等价 A与C等 , ,则 价

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定 2.5 义(1)

阶 形 阵 梯 矩 :

前 行 ≤ r ≤ m)是 零 ,其 各 r (1 非 行 他 行 都 零 ; 是 行 ,

k (1 (2)第 行 ≤ k ≤ r)的 1 非 元 是 k, j 第个 零 素 a 则 j1 < j2 << jr是 格 增 . 严 递 的

k

5 0 A= 0 0

1 0 3 4 5 2 7 2 0 2 0 0 4 2 0 0 0 0 0 0

5 B = 0 0

1 0 2 7

2 0 0

2 1 0

4 14 0 2

4

是阶梯型矩阵

不是阶梯型矩阵

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定 2.8 任 一 非 矩 可 行 等 换 理 何 个 零 阵 经 初 变 化 阶 形 阵 成 梯 矩 .0 0 证明: 设A = 0 0 0 行变 换 → 0 a , j11

第1个非零列

a , j11

+1

a2, j1 am, j1 a , j11

a , j12

+1

am, j1 a′, j11 +1

+1

0 0

a′, j12

+1

a′ , j1 m+1

a ,n a ,n am,n a′,n a′,n a′ ,n m1 2 1 2

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0 行 变换 0 → 0 0 行 变换 0 → 0

a , j11

a′, j11

+1

0 01

a′, j12

+1

0 a′, j11 +1

a′,n a′′n , a′′,n m1 2

a , j1 0 0

a′, j12

+1

0

a′,n a′′n , a′′′n m,1 2

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定理2.9 任意非零m× n矩阵A等价于下列形式的矩阵: 0r×(nr) Er 0 0(mr)×(nr) (mr)×r 0r×(nr) 矩阵 A 经一系列行初等变换 Er 即: → 经一系列列初等变换 0 变换 0(mr)×(nr) ( A ≠ 0) (mr)×r

这里, = rank( A), r 0r×(nr) Er . 称为秩为r的矩阵Am×n的等价标准形 0(mr)×r 0(mr)×(nr)

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0 0 1 2 6 7 0 1 1 0 1 1 2 1 2 r1r 2 0 0 1 例2.18 A= → 0 2 3 2 4 3 0 2 3 0 3 4 4 3 5 0 3 4 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 r r 32r1 0 0 1 2 6 7 r 3rr2 0 0 1 2 r 4+3r1 4+ 2 → → 0 0 1 2 6 1 0 0 0 0 0 0 1 2 6 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 c1cc2 0 1 0 0 0

列变换 c 2 3 → → 0 0 0 0 0 8 c3c6 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 2 6 7 2 4 3 4 3 5 1 2 6 7 0 8 0 0 0 1 1 0 8 c3 0 → 0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

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二,用初等变换求逆矩阵

定 2.6 对 位 阵 行 次 等 换 义 单 矩 施 一 初 变 , 得 的 阵 为 等 阵 到 矩 称 初 矩 .称为初等矩阵单 矩 E→ 新 阵 位 阵 矩

三 初 变 对 三 初 矩 . 种 等 换 应 种 等 阵

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(1) 交 E 第 , j两 (列 : 换 的 i 行 ) 1 0 1 j) = 1 0 1

E(i,

第行 i 第行 j

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(2) 数k(k ≠ 0)乘 E的 i (列 于 第行 ) 1 E(i(k)) = k 第行 i 1

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(3) 数 乘 E 第行 到 的 i k 于 的 j 加 E 第行 (第列 于 k加 第列 i 乘 数 到 j ) 1 1 k E( j(k),i) = 1 1

第行 i↑

第行 j

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初 矩 都 可 矩 ,其 矩 等 阵 是 逆 阵 逆 阵 也 初 矩 是 等 阵

(E(i, j))1 = E(i, j)

(E(i(k)))

1 = Ei 1 k 1

(E( j(k),i)) = E( j(k),i)

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1 0 1 证 E(i, j) E(i, j) = : 1 0 =E 所 , (i, j))1 = E(i, j) 以 (E1 因 为 E(i(k))E(i( k )) = E

1 0 1 1 0 1

1

1 所 以 (E(i(k)))-1 = E(i( k ))

因 为 E( j(k), i)E( j(k), i) = E

所 以 (E(j(k),i))-1 = E( j(k), i)

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0 0 例:E (1,3) A = 0 1 1 0 a11 a12 A E (1,3) = a21 a22 a 31 a32

1 a11 0 a21 0 a31

a12 a22 a32

a13 a31 a23 = a21 a33 a11

a32 a22 a12

a33 a23 a13

a13 0 0 1 a13 a12 a11 a23 0 1 0 = a23 a22 a21 a33 1 0 0 a33 a32 a31 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 E (3(k )) A = 0 1 0 a21 a22 a23 = a21 a22 a23 0 0 k a 31 a32 a33 ka31 ka32 ka33 a11 a12 a13 1 0 0 a11 a12 ka13 A E (3(k )) = a21 a22 a23 0 1 0 = a21 a22 ka23 a a32 a33 0 0 k a31 a32 ka33 31

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定 2.10 理r rj i

A 个 m× n矩 是 阵 E(i, j) A = B E(i(k)) A = B E( j(k), i) A = B A E(i, j) = B A E(i(k)) = B A E( j(k), i) = B

A 做 次 初 变 用 阶 等 阵 乘 A 一 行 等 换 m 初 矩 左 即 A →B : kr i A B →

A B → 即 A →B : kci A B → ci c j

r +krj i

A 做 次 初 变 用 阶 等 阵 乘 A 一 列 等 换 n 初 矩 右

A B →

ci +kc j

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证: 只 A B E( j(k),i) A = B 证 → A1 1 A1 1 k Ai Ai + kAj × = 1 Aj Aj 1 Am Am

r +krj i

E( j(k),i) A

=

与 B 的 果 相 , A i j→ 结 B 同 即 ( j(k),i) A = B E .

r +kr