2017-2018学年北京市西城区高二第二学期期末数学(理科)试题

北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷

高二数学（理科）2018.7

试卷满分：150分考试时间：120分钟

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合要求的.

1

+∞

(4,)

某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过

其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工

2

3 第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9.

函数()f x =4x =处的切线的斜率为___________.

10. 在42()x x

-的展开式中，常数项是___________.（用数字作答） 11. 已知某随机变量ξ的分布列如下（q ∈R ）：

那么ξ的数学期望()E ξ=___________， ξ的方差()D ξ=___________.

12. 若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排照相，则其中任意2名教师不相邻的站法有

_______种. （用数字作答）

13. 设函数2e ()1x

f x ax

=+，其中0a >. 若对于任意x ∈R ，()0f x '≥，则实数a 的取值范围是____. 14. 某电影院共有(3000)n n ≤个座位. 某天，这家电影院上、下午各演一场电影. 看电影的是

甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）. 已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有_____个.

4 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分13分）

在数列{}n a 中，11a =，121n n n a a a +=+，其中1,2,3,n =.

（Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值；

（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

16．（本小题满分13分）

在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112，乙、丙两人都回答正确的概率是14. 设每人回答问题正确与否是相互独立的.

（Ⅰ） 求乙答对这道题的概率；

（Ⅱ） 求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.

17．（本小题满分13分）

设,a b ∈R ，函数321()3

f x x ax bx =++在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,3)上单调递减.

(Ⅰ) 若2a =-，求b 的值； (Ⅱ) 求函数()f x 在区间[1,4]上的最小值（用b 表示）.

18．（本小题满分13分）

5 甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：

乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用m 表示．

（Ⅰ）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；

（Ⅱ）当5m =时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之

差的绝对值为，求随机变量的分布列；

（Ⅲ）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出m 的取值集合.（结论不

要求证明）

19．（本小题满分14分）

设函数2()(2)e (1)x f x x a x =---，其中a ∈R .

（Ⅰ）当0a ≤时，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）当0a >时，证明：函数()f x 不可能存在两个零点.

20．（本小题满分14分）

已知函数()ln 2f x x x =+.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(,)e +∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）设函数2

()g x x x =-，其中0x >. 证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方.