高考数学总复习：第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理

创新设计·高考总复习：2014届高考数学北师大版(理)一轮复习：4.三角函数及解三角形(6)

第6讲 正弦定理和余弦定理【2014年高考会这样考】1.考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的 和或积、角的大小或三角函数值等综合考查.

2.考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题.

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考点梳理1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则正弦定理 余弦定理

内容

a b c a2=b2+c2-2bccos A, = = sin A sin B sin C 2 2 2 b =a +c -2accos B, =2R(R 为△ABC 外 c2=a2+b2-2abcos C 接圆半径)

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(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B, b2+c2-a2 c=2Rsin C; cos A= ; 2bc a b sin sin 常见 (2)sin A=2R, B=2R, a2+c2-b2 cos B= ; c 2ac 变形 C= ; 2R a2+b2-c2 cos C= (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶ 2ab sin C解决 的问 题 (1)已知两角和任一边，求 其他两边和一角；(2)已知 两边和其中一边的对角， 求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个 角；(2)已知两边和它们 的夹角，求第三边和其 他两角

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2.在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况 A为锐角 图形 A为钝角或直角

关系 a<b sin A 式解的 个数 无解

a=bsin bsin A<a A <b一解 两解

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

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3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). 2 1 1 1 absin C acsin B 2 (2)S= bcsin A=__________=__________. 2 21 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2

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【助学· 微博】 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也

较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B a>b sin A>sin B. 两种途径

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施 边、角转换.

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考点自测1.(2012· 湖北改编)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= ( A.60°解析

).

B.90°

C.120°

D.150°

由已知可得 a2+b2-c2=-ab,根据余弦定理得：

a2+b2-c2 1 cos C= =- .故 C=120° . 2ab 2

答案

C

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2.(2012· 天津)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=(7 A. 25 7 B.- 25 7 C.± 25 24 D. 25

).

解析

因为 8b=5c,则由 C=2B 得 sin C=sin 2B= sin C c 4 2sin Bcos B,由正弦定理得 cos B= = = ,所 2sin B 2b 5 4 2 7 2 -1= ,故选 以 cos C=cos 2B=2cos B-1=2× 5 25

择 A.

答案

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3.(2013· 三亚模拟)在△ABC中，若2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状是 A.等边三角形 C.直角三角形解析

( B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

).

a2+c2-b2 由正、余弦定理得 2· · a=c,整理得 a 2ac

=b,故△ABC 为等腰三角形.

答案

B

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π 4.在△ABC 中，若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的大 3 小为________.

解析

3 在△ABC 中，由正弦定理，得 = , π sin∠B sin 3

3

1 π sin∠B= .∵a>b,∴∠A>∠B,∴∠B= , 2 6 π π π ∴∠C=π- - = . 3 6 2 π 答案 2

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5.(2013· 郑州调研)已知圆的半径为 4,a,b,c 为该圆的内接 三角形的三边， abc=16 2, 若 则三角形的面积为________.

解析

a b c c ∵ = = =2R=8,∴sin C= , sin A sin B sin C 8

1 1 1 ∴S△ABC= absin C= abc= ×16 2= 2. 2 16 16

答案

2

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考向一

利用正、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)(2012· 北京)在△ABC 中，若 a=2,b+c=7,cos 1 B=- ,则 b=________. 4 (2)(2012· 重庆)设△ABC 的内角 A, C 的对边分别为 a, B, 3 5 b,c,且 cos A= ,cos B= ,b=3,则 c=________. 5 13 [审题视点] (1)利用余弦定理.

(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解.

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解析

(1)根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2×2×(7- b=4.

1 - b)· 4 ,解得

4 12 (2)由已知条件可得 sin A= ,sin B= ,而 sin C=sin(A 5 13 56 b +B)=sin Acos B+cos Asin B= , 根据正弦定理 = 65 sin B c 14 得 c= . sin C 5答案 (1)4 14 (2) 5抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

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(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理 时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决 问题的目的，在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.

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【训练 1】 (1)(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对 b 2 的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos A= 2a,则a= ( ). A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2(2) (2013· 吉安模拟)在△ABC 中，角 A,B,C 所对的 边分别为 a, c, a= 2, b, 若 b=2, B+c …… 此处隐藏：3197字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……