2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学(2)

得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24

. 又已知|PF 1|·|PF 2|＝94

ab ， ∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43

(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b

a 2＝ 1＋432＝53

.] 引申探究 解 作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF 1⊥PF 2及∠PF 1F 2＝30°，求出a ，c 的关系式．

设点P 在双曲线右支上．

∵PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2c ，

且∠PF 1F 2＝30°，

∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .

又点P 在双曲线的右支上，

∴|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ，

∴e ＝c

a ＝23－1＝3＋1.

跟踪训练3 解 依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为

34c ， 得ab a 2＋b 2＝34

c ， 即ab ＝34

c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，

∴3? ??

??b 2a 2－10×b 2a 2＋3＝0， 解得b 2a 2＝13或b 2

a 2＝3.

又∵0<a <b ，∴b 2

a 2＝3. ∴e ＝ 1＋

b 2

a

2＝2. 例4 解 由C 与l 相交于两个不同点，

知方程组????? x 2a

2－y 2＝1，x ＋y ＝1

有两组不同的实根，

消去y 并整理得 (1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2

＝0.① 所以????? a >0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2－a 2， 解得0<a <2且a ≠1.

又双曲线的离心率e ＝

1＋a 2a ＝ 1a 2＋1， 所以e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为 (62

，2)∪(2，＋∞)． 跟踪训练4 B [由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形， 又直线AB 与x 轴垂直，

所以|AF 2|＝|BF 2|，

故∠AF 2B 为钝角．

所以有b 2

a

>2c ，即2ac <c 2－a 2， 解得e ∈(1＋2，＋∞)．

故选B.]

当堂训练

1．A 2.A 3.B 4.D 5.y ＝±22x