第四章_大数定理和中心极限定理历年考研试题解答

第四章_大数定理和中心极限定理历年考研试题解答

大数定理和中心极限定理历年考研试题汇总

数一部分：

1. (2001年)设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X E(X)| 2} ______. 解答：因为D(X) 2，根据切比雪夫不等式可知：

D(X)2

2

P{|X E(X)| 2}

12

.

数三部分：

1．(1988年)某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗户占20%. 以X表示随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出X的概率分布；

(2) 利用棣莫弗-拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.

kk100 k

0.2 0.8,k 0,1,2, ,100. 解答：(1) X的概率分布为：P{X k} C100

(2) 由棣莫弗-拉普拉斯定理知， P{14 X 30} P

14 100 0.2 100 0.2 0.8

X 204

X 100 0.2 0.2 0.8

30 100 0.2

0.2 0.8

P 1.5

2.5 (2.5) ( 1.5)

(2.5) (1.5) 1 0.944 0.933 1 0.927.

2. (1996年)假设X1,X2, Xn为来自总体X的简单随机样本，已知E(Xk) ak(k 1,2,3,4). 证明：当n充分大时，随机变量Zn

n

1

n

Xi

2

近似服从正态分布，并指出其分布参数.

i 1

解答：依题意X1,X2, Xn独立同分布，知X12,X22, Xn2也独立同分布，由E(Xk) ak(k 1,2,3,4)，有E(Xi2) a2，

D(Xi) E(Xi) E(Xi) a4 a2,i 1,2, ,n

2

4

2

2

2

第四章_大数定理和中心极限定理历年考研试题解答

1

于是 E(Zn) E

n

1

D(Zn) D

n

n

i 1n

X

2i

1

n

n

i 1

n

E(Xi) a2

2

2

i 1

X

2

i

1 2

n

i 1

D(X)

2

i

a4 a2

n

因此根据独立同分布的中心极限定理，当n充分大时，

Un

Zn a2a4 an

22

~N(0,1)

故当n充分大时，Zn

1n

n

i 1

X

2i

2

a4 a2

近似服从参数为 a2,n

的正态分布.

3. (2001年)设随机变量X和Y的数学期望分别为 2和2，方差分别为1和4，而相关系数为 0.5，则根据切比雪夫不等式P{|X Y| 6} ______. 解答：令Z X Y，则

E(Z) E(X) E(Y) 2 2 0

D(Z) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 1 4 2 ( 0.5) D(X)D(Y) 3

于是有 P{|X Y| 6} P{|Z E(Z)| 6}

4. (2001年)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为

5

D(Z)6

2

112

.

千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能

保障不超载的概率大于0.977( (2) 0.977，其中 (x)是标准正态分布函数). 解答：设Xi(i 1,2, ,n)是装运的第i箱的重量(单位：千克)，n为所求箱数.

由题设可以将X1,X2, Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Sn X1 X2 Xn是独产同分布随机变量之和.

第四章_大数定理和中心极限定理历年考研试题解答

由题设，有 E(Xi) 50,

E(Sn) 50n,

D(Xi) 5,

D(Sn) 5n (单位：千克)

根据列维-林德伯格中心极限定理知，Sn近似服从正态分布N(50n,25n)，箱数n根据下述条件确定

Sn 50n5000 50n

P{Sn 5000} P

5n 5n

由此得

1000 10n

n

2，从而n 98.0199

1000 10n 0.977 (2) n

，即最多可以装98箱.

5. (2003年)设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2, Xn为来自总体X的简单随机样本，则当

n 时，Yn

n

1

n

Xi

2

依概率收敛于___________.

i 1

解答：因为X1,X2, Xn相互独立同服从参数为2的指数分布，于是X12,X22, Xn2也独立同分布，且

E(Xi)

12

,D(Xi)

12

2

14

,i 1,2, ,n

2

1 1

于是 E(X) D(Xi) E(Xi) ,i 1,2, ,n

4 2 2

2

i

2

1

因此，根据辛钦大数定理有Yn

n

1

n

X

2

i

依概率收敛于

i 1

n

1

n

E(Xi)

2

12

.

i 1