白银十中高中数学新课标任教A版必修五教学设计：3.4基本不等式1

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必修 5 第三章 不等式

是有一些困难， 一时很难接受； 从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变 量范围是从全体实数变化为正实数， 很不好理解； 对于变量存在和或者积为定 值也需仔细观察， 在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽 视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推 理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本 节课的教学难点为： 从不同角度探索基本不等式的证明， 能利用基本不等式的 模型求解函数最值. 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下， 以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本 不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、 讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生 发现问题、探索问题、解决问题的能力. 两个不等式的证明及其区别与联系 理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 并灵活运用

教学策略分析

教学重点： 教学难点：

教学过程设计：情境设计 情境一：如图是在北京召 开的第 24 界国际数学家 大会的会标，会标是根据 中 国 古 代 数 学 家 赵 爽的 弦图设计的，颜色的明暗 使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。 长为 a 2 b2 。 问题设计 问题 1:你能在这个图案中找出一些相等关系 或不等关系吗？ 分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方 形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形。 设直角 三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边 设计意图 介绍国际数学家 大 会以及 赵爽 的相关 背景， 体现数学的文化 价值， 渗透爱国主义教 育 . 课前完成利用弦图 证明勾股定理的过程， 一 方面展 现了 赵爽证 明的构图巧妙、精致， 是数与形的完美统一， 让 学生对 弦图 的认识 清晰、完整；另一方面 为 提出弦 图中 面积间 的不等关系做铺垫， 体 会 相对关 系与 不等关 系的辩证统一 .同时， 通 过运动 变化 将直观 的 面积关 系转 化为隐 含的数值关系.

我们考虑 4 个直角三角形的面积的和是S1 2ab ,正方形的面积为 S 2 a 2 b 2 。

由图可知 S 2 S1 ,即 a 2 b 2 2ab .

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问题 4 :如图，取线段 AB a b ,其中

通过对图形的探

AC a, BC b ,以 AB 为直径做圆 O,过 究多角度说明基本不点 C 做垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD. ① . 图中你能找到长度为 等式的几何意义，由 于学生对问题的分解 能力不足，不知如何 入手探究，并且表示

a b 与 ab 2

的线段吗？它们分别有什么几何意义呢？ ②.移动点 C 在线段 AB 上的位置(几何 画板) ,你有什么结论呢？

ab 的线段及其几何意 义 学生 不易 发 现 . 为了帮助学生，我将

情景四：基本不等式的几 何意义

探究分解为两个小问 题，从运动变化的角 度帮助学生观察、归 纳.一方面，帮助学生 【说明】我们通常把 建立数学结合的基本 a b 叫做两个正数的 2 思想；另一方面，培

算术平均数， ab 叫做两个正数的几何平均 养学生从运动变化的 数 .基本不等式也可以叙述为：两个正数的 角度思考问题、解决 算术平均数不小于它们的几何平均数. 问题的能力，多角度 认识基本不等式的几 何解释.

必修 5 第三章 不等式

情境五：学以致用，我们 可 以 两 个 重 要 不 等 式来 解决什么样的问题呢？ 问题:5: (1)用篱笆围一个面积为 100 平方米

本题是基本不等式在 实际问题中的简单应

的矩形菜园， 问这个矩形的长、 宽各为多少时， 用，一方面，让学生 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

※分享收获:对于 a, b R , (1)若 ab p (定值) , 则当且仅当 a b 时，

知道可以利用基本不

(2) 一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园， 等式求解最大(小) 问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？ 【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注

值的问题；另一方面， 强化学生对基本不等 式的理解，特别是等

a b 有最小值 2 p ;

意三个限制条件 (一正二定三相等) 缺一不可。 号成立的条件，同时 练习：函数 y x

(2) 若 a b s(定值) , 则当且 仅当 a b 时，ab 有最大值s2 . 4

1 ,在下列哪个区间内有 培养学生形成严谨的 x思维习惯，具备反思 的意识，也为后续提 出“一正，二定，三 相等”做铺垫.(3) x 1

最小值，若有请求出；若没有，说明理由？ (1) x 0

(2) x 0

【课堂小结】 (1)本节课我们学习的主要内容是什么? (2)在应用基本不等式时，需要注意哪几点？ (3)在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？ (请学生发言，并相互补充，教师点评即可.教师可适当总结本节课所应用的数学 思想与方法.)

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【习题设计】 1.求下列函数的最值(利用基本不等式求最值)

1 ( x 0) 的最小值(难度★) x 1 (2)若 x 2 ,求 y x 的最小值(难度★★) x 2(1) y x 2.已知直角三角形的面积为 50,两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？ (利用基本不等式求最值；难度★★★) 3.下列函数的最小值为 2 2 的是：(一正二定三相等；难度★★★★) A. y x

2 x

B. y sin x

2 , x 0, sin x 2 2 , x 0, lg x

C. y

x 2y , xy 0 y x

D. y lg x

4.已知 a, b R , a b 1 。 (难度★★★) (1)求 ab 的最大值； (2)求

1 1 的最小值； a b

5.求下列代数式的最小值(一正二定三相等) (1)已知 x 0, y 0 ,且2 8 1 ,求 xy 的最小值.(难度★★★★) x y

(2)设 x, y R ,且 x y 2 ,求 3 x 3 y 的最小值.(难度★★★★) 6.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 1m 的造价为 150 元，池壁每 1m 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ (利用基本不等式求最值；难度★★★★★)2 3 2