2017-2018学年高中数学圆锥曲线与方程2.1.2.1椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质

(45分钟70分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是( )

A. B.

C. D.-

【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.

2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为( )

A.+y2=1

B.x2+=1

C.+=1

D.+=1

【解析】选A.因为=,且c=,

所以a=

,b==1,

所以椭圆C 的方程为+y2=1.

3.已知点(m,n)在椭圆8x2+3y2=24上,则2m+4的取值范围是( )

A.[4-2,4+2]

B.[4-,4+]

C.[4-2,4+2]

D.[4-,4+]

【解析】选A.方程可化为+=1,则-≤m ≤,

所以2m+4∈[4-2,4+2].

4.椭圆+=1的离心率为,则k的值为( )

A.-21

B.21

C.-或21

D.或21

1

【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,

得c2=5-k.由==,得k=-;

当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.

5.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为( )

A.x2+y2=1

B.(x-1)2+y2=4

C.x2+y2=4

D.x2+(y-1)2=4

【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.

6.(2017·全国丙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )

A. B. C. D.

【解析】选 A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d==a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2)?2a2=3c2,即=,e==.

7.设椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的范围为( )

A. B.

C. D.

【解析】选C.因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,

所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|+|PF2|=2a,

所以4c2=|PF1|2+|PF2|2≥=2a2,

即2c2≥a2,所以e2≥.又因为0<e<1,所以e ∈.

8.椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·

2

的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),

=(c-x,-y),

·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e ≤.

二、填空题(每小题5分,共10分)

9.(2017·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.

【解析】设P点到x轴的距离为h,

则=|F1F2|h,

当P点在y轴上时,h最大,此时最大.

因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.

答案:3

10.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为________.

【解析】因为e==,

所以==,

所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.

设椭圆的标准方程为+=1(a>0),

因为椭圆过点P(-5,4),所以+=1.

解得a2=45.所以椭圆的方程为+=1.

3

答案:+=1

三、解答题(每小题10分,共20分)

11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.

(1)求椭圆离心率的范围.

(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),

|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.

在△PF1F2中,由余弦定理可知,

4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn

=4a2-3mn≥4a2-3·

=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).

所以≥,即e ≥.

又0<e<1,所以e 的取值范围是.

(2)由(1)知mn=b2,

所以=mnsin60°=b2,

即△PF1F2的面积只与短轴长有关.

12.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.

【解析】设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是:+y2=,所以y2=ax-x2. ①

又P点在椭圆上,故+=1. ②

把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即

(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,因为x≠a,x≠0,

所以x=,又0<x<a,

4

5 所以0<

<a,

即2b 2<a 2. 由b 2=a 2-c 2,得a 2<2c 2,所以e>

.

又因为0<e<1,所以<e<1. 即椭圆离心率的取值范围是

. 【能力挑战题】

已知椭圆x 2+=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C 三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程

.

【解题指南】根据圆的性质,得圆心P 为FC 的垂直平分线与BC 的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC 的垂直平分线方程,得到它们的交点为P

,代入直线x+y=0解出b 2=,即可得出此椭圆的方程.

【解析】设圆心P 的坐标为(m,n),因为圆P 过点F,B,C 三点,所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上,也在BC 的垂直平分线上,

FC 的垂直平分线方程为x=

.① 因为BC 的中点为,k BC =-b,

所以BC 的垂直平分线方程为y-=

② 由①,②联立,得x=,y=,

即m=,n=.

因为P(m,n)在直线x+y=0上,