华中科技大学研究生应用高等工程数学：矩阵论、数值分析复习

矩阵论复习一、线性空间(子空间)的基与维数的求法、直和的概念二、两个基之间过渡矩阵的求法三、线性变换的概念及其矩阵表示线性变换的特征值、特征向量的计算

四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理的简单应用五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算七、矩阵的三角分解

数值分析复习一误差分析 1舍入误差、截断误差、有效数字； 2数值计算的一些原则；如：P10-例1.3、例1.6。 3数值计算的稳定性。

二.插值法 1.插值的概念： (1)问题的引出； (2)唯一性：待定系数法；反证法。 2.构造插值多项式的方法： (1)待定系数法； (2)基函数法； (3)承袭性思想。

3插值的分类： (1)不含导数插值条件(Lagrange型插值); Lagrange插值公式、Newton插值公式。 (2)含导数插值条件(Hermite插值);构造法、带重节点的Newton插值法。 4余项表达式、截断误差估计、总的误差界。 5各阶差分、差商的定义、基本性质。 6三次样条插值。 7例.

三、函数逼近⒈概念最佳平方逼近

{连续

离散

⒉正交多项式：①定义；②性质；③特点 p60.性质4

⒊最佳平方逼近多项式的寻求：教 p58.例3.1

①基底

{1, x, x, , x};教 p66.例3.2例3.3

2

n

②正交多项式作为基底。

⒋最小二乘拟合问题：

教P69.例3.4,3.5,3.7

①给出数据能求出拟合曲线；②会解矛盾方程；教p72.例3.6教p74.例3.8

③正交多项式在曲线拟合中的应用。

四、数值积分1、基本概念： (1)代数精度； (2)插值型求积公式； (3)复化求积公式； (4)Gauss型求积公式； (5)收敛阶(复化); (6)计算的稳定性。

2、构造求积公式的方法： (1)待定系数(利用代精);{求积节点给定;求积节点、系数均未给定 .

(2)插值型求积公式；b A l ( x)dx k ak

教P91,例4.2

n x x j l ( x) x x k j 1 k j例：P96例4.4 j k

(3)Newton-Cotes公式； (节点等距),几种低阶，{梯形

P101

simpson

及余项。

3、提高求积公式精度的方法： (1)增加求积节点及采用Gauss型求积公式； (2)构造复化求积公式；先验误差误差的{事后误差估计P92,93例：P94.例4.5

P95,96

(3)线性外推公式、Romberg算法。

4、Gauss型求积公式： (1)Gauss点的概念及其有关定理；系数特点稳定、收敛

(2)利用正交多项式构造Gauss求积公式；例：P103例4.11例：P105例4.12

(3)利用Gauss型求积公式构造奇异积分的数值方法。

5、例。

例：P107例4.14

五、常微分方程数值解⒈将方程离散化的三种方法。⒉掌握Euler法和改进的Euler法、隐式

Euler法和梯形法的基本公式和构造。⒊领会R-K方法的基本思想，会进行二阶R-K方法 p137的推导。⒋会求差分格式的局部截断误差及方法的阶。⒌能利用单步法收敛定理判断方法的收敛性。⒍能给出一般单步法的绝对稳定性区域(区间)。

⒎掌握线性多步法的构造原理，能构造线性多步格式。 P147.例5.10

8.例.

P150-151.

六、线性代数方程组的解法A.直接法、⒈方法：① Gauss顺序消去法；②列主元Gauss消去法；③直接三角分解法(不选主元);④平方根法和改进的平方根法；⑤追赶法。

⒉以上各方法的算法步骤。⒊误差分析。⒋向量、矩阵的范数、条件数、谱半径。⒌矩阵的三角分解定理。 B.迭代法、⒈方法： 1 B D (L U )① Jacobi迭代法； J

1② Gauss-Seidel迭代， BG ( D L) U 1③ SOR方法， BS ( D L) (1 ) D U ⒉上述三种方法的算法步骤。⒊收敛性定理：①充要条件； ( B) 1 B 1②充分条件；③系数矩阵A严格对角占优，则Jacobi迭代、G-S迭代必收敛。

④ SOR方法收敛的必要条件： 0 2 (由 ( Bs ) 1导出)⑤ SOR方法收敛的有关定理。 4例。 P201定理6.25定理6.26

七、方程求根

P212 Th7.1

1简单迭代法 xk 1 ( xk ): P215Th7.2 (1)迭代函数 ( x)的构造和选择； P218 (2)整体与局部收敛定理； Th7.4 (3)加速收敛的方法。 P215 P215 2收敛阶的判断方法：定义7.2 Th7.3 (1)根据定义判断； (2)用 ( x)的高阶导数判断(局部收敛)。 3 Newton迭代及其各种改进。 4例。