线性代数1.3 1.4 阶行列式的性质&按行或列展开

上次课: ◆ 上次课:

阶行列式的定义： ▲ n 阶行列式的定义：

第2 次课

Dn = det(aij )n =| aij |n

( 1)t a1 p1 a2 p2 Lanpn =∑t

----行排定义 行排定义

= ∑ ( 1) a p1 1a p2 2 La pnn ----列排定义 列排定义其中 t = t ( p1 p2 L pn ).

本次课： 行列式的性质. ◆ 本次课： ▲ 行列式的性质 行列式按行按列展开. ▲ 行列式按行按列展开

本次课[2]的教学要求 本次课[2]的教学要求 [2]

1、理解行列式的性质， 理解行列式的性质， 并能熟练用于计算行列式. 并能熟练用于计算行列式. 2、理解行列式按行(列)展开定理， 理解行列式按行( 展开定理， 并能熟练应用. 并能熟练应用.

第三节 行列式的性质 一、行列式的性质

a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n 设 D= M O M an1 an2 L ann

a11 a21 L an1 a12 a22 L an 2 DT = O M M a1n a2n L ann

转置行列式. 行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式 性质1 性质1 DT = D

性质1 性质1 DT = D 证明 记 D = det(aij )的转置行列式

b11 b12 L b1n b21 b22 L b2 n T D = , LLLLLLL bn1 bn 2 L bnn

则 bij = a ji (i , j = 1,2,L, n ),

按定义 DT = ∑ ( 1)t b1 p b2 p Lbnp 1 2 n

( 1)t a p1 1a p2 2 La pnn = D. =∑

性质2 性质2

( ,行列式变号. 互换行列式的两行 列)行列式变号.

证明 设 D = det(aij )n

a11 a12 L L a j1 a j 2 D1 = det(bij )n = L L ai 1 ai 2 L L a n1 a n 2要证: 要证 D

L L L L L L L

a1n L a jn L, ain L ann

ri r j r1 r3 ci c j c2 c4

D1

D = ∑ ( 1) a1 p1 Laipi La jp j Lanpnt

( 1)t b1 p Lb jp Lbip Lbnp =∑1 i j

n

= ∑ ( 1) b1 p1 Lbip j Lb jpi Lbnpn ,t

其中 1L i L j L n 为自然排列 , t = t ( p1 L pi L p j L pn ),

记 t1 = t ( p1 L p j L pi L pn ),则有 t1与 t + 1 同奇偶,

∴ ( 1) = ( 1) 1t

t +1

= ( 1) 1 ,t

故 D = ∑ ( 1)t1 a1 p Laip La jp Lanp = D . 1 1 j i n

例如

1 7 5 6 6 2 3 5 81 7 5 6 6 2 3 5 8

r2 r3

1 7 5

3 5 8, 6 6 2

c1 c2 7 1 5 6 6 2.5 3 8

推论

如果行列式有两行(列)完全相同， 如果行列式有两行( 完全相同， 则此行列式为零. 则此行列式为零.

证明 互换相同的两行，有 D = D , ∴ D = 0. 互换相同的两行，

性质3 性质3

( k × ri , k × ci )a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n LLLLLLL LLLLLLL k ai 1 k ai 2 L k ain = k ai 1 ai 2 L ain . LLLLLLL LLLLLLL an1 an 2 L ann an1 an 2 L ann

证明 左 = ∑ ( 1)t a1 p L( kaip )Lanp 1 i n

= k ∑ ( 1) a1 p1 Laipi Lanpn = 右.t

推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因 行列式的某一行( 子可以提到行列式符号的外面. 子可以提到行列式符号的外面.( ri ÷ k , ci ÷ k )

比如

3 3 2 8 12 要计算 7 1 3 18 0 9 0

0 3 3 0 r2 ÷ 2 1 4 6 2 4 7 1 3 2 18 0 9 0 3 3 3 c4 ÷ 2 1 4 6 0 2×2× 7 1 3 2 18 0 9 16

6 0 4 2

3 1 c3 ÷ 3 1 4 2 4×3× 7 1 1 18

0 3 0

3 0 2 1 = KK

0 1/ 2 3 再如 1/ 2 4 6 要计算 7 1 / 3 3 18 0 91 r2 ÷ 2

6 0 4 2

0 1/ 2 3 6 8 12 0 1 1 2 7 1/ 3 3 4 18 0 9 2 0 3 3 1 c2 ÷ 6 1 1 1 48 12 × × 2 6 7 2 3 18 0 9

6 0 4 2 = KK

性质4 行列式中如果有两行( 对应元素成比例, 性质4 行列式中如果有两行(列)对应元素成比例 则此行列式为零. 则此行列式为零. 证明a11 a12 L a1n LLLLLLL ai1 ai 2 L ain LLLLLLL kai 1 kai 2 L kain LLLLLLL an1 an 2 L ann a11 a12 L a1n LLLLLLL ai1 ai 2 L ain LLLLLLL k ai1 ai 2 L ain LLLLLLL an1 an 2 L ann

rj ÷ k

= 0.

性质5 性质5 (1):

a11 a21 M

a12 a22 M

a n1 a n 2

′ L (a1i + a1i ) L a1n ′ L ( a 2 i + a2 i ) L a2 n = M M ′ L (ani + ani ) L ann L a1n ′ a11 L a1i L a1n ′ a21 L a2 i L a2 n . + L L L L ′ an1 L ani L ann

a11 L a1i

a21 L a2 i L a2 n L L L L an1 L ani L ann

性质5 性质5 (2):

a11 M ai 1 + a′1 i M a n1 a11 M ai 1 M a12 M ai 2 M

a12

L

a1n

M M ′ ai 2 + a′2 L ain + ain = i M M an 2 L a1n M L ain + M L a11 M ai′1 M ann a12 L a1n M ai′2 M M ′ L ain . M

an1 an 2 L ann

an1 an 2 L ann

性质6 性质6 (1):

ci + k × c j

a11 L a1i L a1 j L a1n a21 L a2i L a2 j L a2n k× M M M M an1 L ani L anj L ann

ci + kcj

a11 L (a1i + ka1 j ) L a1 j L a1n a21 L (a2i + ka2 j ) L a2 j L a2n M M M M an1 L (ani + kanj) L anj L ann

;

性质6 (2): ri + k × r j 性质6

a11 M ai1 M a j1 M an1

a12 M ai 2 M a j2 M an 2

L L L L

a1n M ain M a jn M ×k ann

+

ri + krj

a11 M ai 1 + ka j1 M a j1 M an1

a12 M ai 2 + ka j 2 M a j2 M an2

L L L L

a1n M ain + ka jn M a jn M ann

二、行列式性质应用举例 ◆计算行列式的基本方法 上三角化 计算行列式的基本方法: 上三角化. 基本方法 ◆计算行列式的主要手段 计算行列式的主要手段: 主要手段 1 2 3 3 7 例1 计算 D = 2 0 4 1 3 4 5 4 7 10

ri + kr j . 3 9 2 14 10 1 5 1 6 2

1 2 3 3 7 例1 计算 D = 2 0 4 1 3 4 5 4 7 10

3 9 2 14 10

1 5 1 6 2

×3

⊕

解Dr2 + 3r1

1 1 2 3 1 × ( 2 ) 0 0 1 0 2 ⊕ 2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2

解Dr2 + 3r1

1 1 2 0 0 1

2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2

3 1 × ( 2 ) 0 2 ⊕

r3 2r1

1 1 2 0 0 1

3 0

0 0 2 4 3 5 7 14 4 4 10 10

1 × ( 3 ) 2 ⊕ 1 6 2

r3 2r1

1 1 2 0 0 1

3 0

0 0 2 4 3 5 7 14 4 4 10 10

1 × ( 3 ) 2 ⊕ 1 6 2 1 2 1 3 2

1 1 2 3 0 0 1 0 r4 3r1 0 2 0 4 0 2 1 5 4 4 10 10

× ( 4 )⊕