2012-2013年中南大学数学分析(一)期末测试答案

………评卷密封线…………

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2008-2009学年下学期中南大学数学分析试题

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理处时间120分钟

分0

按绩

成一、填空题(21分,每空3分)

试考1．A为f(x)在x a的右极限的 定义为

者违，息 。

信生考写2．设f(x)

x

sin(x)

,f(x)的间断点为填准不外对应间断点的类型 。

线封密 1

，x(1 cos(ax)),x 0题答3．设f(x)

0,x 0在x 0可导,则a b 。

要 不 ln(1 bx x2)内

x,x 0

线封密4．设f(x) xarctan(x5 1),则 f'(x) f(x) 2

dx 。

…………5．设y e x2

,则y(2010)(0) 线 封密 卷 评

… …

二、计算、分析题(30分,每题6分)

n

1 f(a ) 1．若f(x)在x a可导且f(a) 0，求lim 。 n

f(a)

2．设f(0) f'(0) 0,f''(0) 6,求lim

x 0

f(sin(x))

。

xln(1 sin(x))

lim

x 0

f(sin(x))f(sin(x))f'(sin(x))cosxf''(sin(x))

lim lim lim 3

x 0x 0xln(1 sin(x))x 0x22x2

3． 证明方程2x x2 1有且仅有三个实根。

x t arctant

4．求曲线 在拐点处的切线方程。 3

y t 6t 2

5．设f(x) xsin(x)，求df(x).

分）。

三、设0 x0

2

,xn sin(xn 1),n 1,2,...,试讨论{xn}的极限并求limnxn（9

n

四、设f(x) nx(1 x)n,n为正整数。试求（1）f(x)在[0，1]上的最大值M；

（2）limM（10分）。

n

五、证明双曲线xy 9上任意点处的切线与两坐标轴所围的三角形面积为常

数（10分）。

六、（1）证明不等式4xln(x) x2 2x 3 0,x (0,2)（5分）； （2）证明不等式(abc)

七、（1）利用柯西收敛原理及拉格朗日中值定理证明：设f(x)在（0，1）可

a b c3

。 aabbcc,a 0,b 0,c 0（5分）

1

导且|f'(x)| M ,an f(),n 1,2,...,则liman存在（5分）；

n n

（2）设f(x)在[0，+ ）二阶可导，f(0) limf(x) 0且满足方程f"(x) cos(f'(x)) ef(x),证明：

x

； f(x) 0,x [0, )（5分）

（2）’证明对每个正整数n，方程x x2 xn 1在[0，1]有且仅有一根xn，并求limxn（5分）（（1）

n

必做，（2）、（2）’选做一题）。

………评卷密封线…………

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2008-2009学年下学期中南大学数学分析试题

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理处时间120分钟

分0

按绩成

八、填空题(21分,每空3分)

试考6．A为f(x)在x a的右极限的 定义为

者违，息 。

信生考写7

．设f(x)

x

sin(x)

,f(x)的间断点为k k 填准不外对应间断点的类型 。

线封密 ， 1

x(1 cos(ax)),x 0题答8．设f(x)

0,x 0在x 0可导,则ab 。

要 不 ln(1 bx x2)内

x,x 0

线封密9．设f(x) xarctan(x5 1),则 f'(x) f(x) 2

dx 。

…………10． 设y e x2

,则y(2010)(0)

2010!

1005!

线封密 卷 评 …

…

九、计算、分析题(30分,每题6分)

n

1 f(a ) 1．若f(x)在x a可导且f(a) 0，求lim n

f(a) 1 1 f'(a)f(a )f(a ) f(a) ef(a)。 =lim 1 lim n n f(a) f(a)

n

n

2．设f(0) f'(0) 0,f''(0) 6,求lim

x 0

f(sin(x))

。

xln(1 sin(x))

lim

x 0

f(sin(x))f(sin(x)) f(0)

lim 洛比达法则

xln(1 sin(x))x 0xsin(x)

3． 证明方程2x x2 1有且仅有三个实根。

x t arctant

4．求曲线 在拐点处的切线方程。 3

y t 6t 2

5．设f(x) xsin(x)，求df(x).

十、设0 x0

2

,xn sin(xn 1),n 1,2,...,试讨论{xn}的极限并求limnxn

n

（9分）。

单调有界，则极限为0

2

limnxn limn

n

nn 1 n

lim1n 11

222

xnxnxn 1

22

xnsin2xnxnsin2xnn 1 n

lim lim2 lim2

2n 1n x sin2x1n xn sinxnnn 2

2

xn 1xn

4322xn4xn12xn12xn

lim2 lim lim lim 3n x sin2xn 2x 2sinxcosxn 2 2cos2xn 4sin2xnnnnnnn

十一、 设f(x) nx(1 x)n,n为正整数。试求（1）f(x)在[0，1]上的最大

n

值M；（2）limM（10分）。

十二、 证明双曲线xy 9上任意点处的切线与两坐标轴所围的三角形面积

为常数（10分）。S=18

十三、 （1）证明不等式4xln(x) x2 2x 3 0,x (0,2)（5分）；

最小值为f(1), f’’(x) （2）证明不等式(abc)

十四、 （1）利用柯西收敛原理及拉格朗日中值定理证明：设f(x)在（0，

a b c3

。 aabbcc,a 0,b 0,c 0（5分）

1

1）可导且|f'(x)| M ,an f(),n 1,2,...,则liman存在（5分）；

n n

（2）设f(x)在[0，+ ）二阶可导，f(0) limf(x) 0且满足方程f"(x) cos(f'(x)) ef(x),

x

证明：f(x) 0,x [0, )（5分）；

反设f(x) 0,x [0, ) 且f(x0) 0,。f(0) limf(x) 0，则f(x)在[ 0, )上 有最大值

x

M。 因为f(x0) 0,，存在X>0,|f(x)|

f(x0)

,即f(x)在[ 0,X]上的最大值M必为f(x)在2

[ 0, )上的最大值，由连续函数的性质知，f(x)在[ 0,X]上的最大值。设

f(x1) M,f(x1)必为[0, )的最大值,f'(x1) 0.由题意，

f"(x1) cos(f'(x1)) ef(x1) 1,则f"(x1) 0 f(x1)为最小值，矛盾。

同理可证明f(x) 0,x [0, ) 且f(x0) 0情形。

（2）’证明对每个正整数n，方程x x2 xn 1在[0，1]有且仅有一根xn，并求limxn=1/2

n

（5分）（（1）必做，（2）、（2）’选做一题）。

f(x) x x2 xn 1,f(0),f(1),