华中科技大学物理第4章 流体运动1

第4章 流体运动简介 The introduction of motion fluid第1节 理想流体的运动 第2节 黏性流体的运动

推

问题:1. 喷雾器怎样把瓶中的液体带出来？ 2. 为什么远离水塔比靠近水塔同样楼层的住家水 压低?

第1节 理想流体的运动 The motion of ideal fluid一、理想流体的稳定流动 1. 理想流体(ideal fluid)实际流体的特性: (1) 粘性(viscosity) (2) 可压缩性(compressibility) 理想流体：绝对不可压缩的、完全没有粘性(或 内摩擦力)的流体。

2. 稳定流动 (The steady flow)The study method The Lagrange method The Euler method

(1) 流速场 流体空间中每一点(x, y, z)上有一个速度矢量 v(x, y, z), 它们构成一个流速场。 (2) 稳定流动 流体在流动时, 流体粒子顺序到达空间任一点, 而 在这一点的速度大小和方向不随时间而改变。

稳定流动时, 流速场的空间分布不随时间变化。2个重要概念：流线、流管。

(3) 流线 (Stream line)A vA C

vC

B

vB

① 流线只是一种形象描述; ② 任意两条流线互不相交; ? ③ 稳定流动时, 流线的分布 不随时间改变;④ 流线与轨迹的关系.

(4) 流管(tube of flow )

① 流管同样也是一种形象描述; ② 流管的形状在稳定流动时保持不变; ③ 稳定流动时, 流管内外的流体彼此互不交换. ?

二、连续性方程(The continuity equation) V S v t Sv 1. 体积流量: Q t tS v t v2 S2

单位: m3/s

2. 连续性方程: S1v1=S2v2 或 Sv=C 适用条件: 不可压缩的流体作稳定流动. S 大 小 v 小 大 说明 流线稀 流线密v1 S1

3. 质量守恒: S1v1= S2v2

4. 分支流管的连续性方程 S1 v1

S2

v2

S3

v3

S1v1 S2v2 S3v3

Bernoulli equation 三、 伯努利方程及其应用1738年, 英国科学家Daniel Bernoulli(1700 ~1782年) 利用力学中的功能原理, 推导出理想流体在流动中的 动力学方程. 理想流体作稳定流动时, 在流体内同一流管任意点 的压强、单位体积势能、单位体积动能满足:

1 p gh v 2 Const. 2

p.93

或在流体中同一流管任意两截面处 有 1 2 1 2 p1 gh1 v 1 p2 gh2 v 2 2 2

推导依据: 连续性方程和功能原理.

推导过程：当 t→0时(1) 假设与近似① aa' 处的截面积近似相等(S1)

② bb' 处的截面积近似相等(S2)③ aa'体积内的v1、p1不变, 高度h1

④ bb'体积内的v2、p2不变, 高度h2⑤ aa'和bb'体积相等 V1 = V2 = V, 质量均为 m ⑥ 流管周围的流体对流体柱ab的力不做功 ⑦ 只有推力F1和阻力F2对流体柱做功

(2) 外力的合力所作的总功A: A ( p1 p2 ) V (3) 动能 Ek和势能 Ep的变化 1 1 2 2 E k mv2 mv1 2 2

E p mgh2 mgh1A E k E p

(4) 功能原理(work-energy theory)1 1 2 2 p1 V mgh1 mv1 p2 V

mgh2 mv2 2 2

1 1 2 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2 1 p gh v 2 C 2

(5) 伯努利方程 理想流体作稳定流动时，同一流管的不同截面 积处的压强、流体单位体积的势能与单位体积的 动能之和都是相等的. (6) 方程中各个物理量的单位

1 p gh v 2 C 2

N m 2 p : Pa kg /m 2 2 m s kg m m 2 gh : 3 2 m kg 2 /m Pa m s s

静压强

1 2 kg m m 2 v : 3 kg 2 /m Pa 2 m s s

2

动压强

(7) 适用条件 ① 理想流体做稳定流动; ② 同一流管的不同截面积处或同一流线的不同点。 (8) 分支管道的伯努利方程 S1 S2

v2

v1

1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2 1 2 1 2 p1 v1 gh1 p3 v3 gh3 2 2

S3

v3

(9) 特殊情况下方程的简化① 不均匀水平管, h1=h2=h 1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2 ② 均匀管, S1=S2, v1= v2= v 竖直: 水平:

p1 gh1 p2 gh2p, h, v均为常量

③ 若某处与大气相通, 则该处的压强为大气压 p0

伯努利方程的应用 1. 空吸(suction)水平管: h1=h2=h

1 1 2 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2

1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2S2<S1

v2>v1p2<p1 p2< p0 空吸作用

实例1: 喷雾器

实例2: 水流抽气机

2. 小孔流速一个很大的开口容器, 器壁上有一小孔, 当容器内 注入液体后, 液体从小孔流出. 设小孔距液面的高度 是h, 求液体从小孔流出的速度. 任意选取一流线, A为流线上通过液面的一点, B为 该流线通过小孔上的一点. S A S B v A 0 A

令小孔处的高度为 hB=0 点A: hA=h, vA=0, pA=p0 点B: hB=0, vB=?, pB=p0 1 1 2 2 pA v A ghA pB vB ghB B 2 2 1 2 gh v B vB 2 gh 2

【例1】一圆形开口容器, 高0.7 m, 截面积6×10 2m2. 贮满清水，若 容器底有一小孔1cm2 , 问该容器中水流完需要多少时间？【解】 已知 hA=0.7 m, SA= 6×10 2 m2, SB= 10 4 m2. 随着水的流出, 水位不断下 降, 流速逐渐减小, 根据小孔流速规律知 在任意水位 h 处水的流速为: vB 2 gh 该处厚度为 dh 的薄层从小孔流出时间为

SA=6 10 2 m2

hA=0.7 m

S Adh S Adh dt S BvB S B 2 gh

SB=1 cm2

整个水箱的水流尽所需时间为

t

0 hA

S A dh S B 2 gh

0 0.7

6 10 2 dh 10 2 9.8 h 4

6 102 19.6

2 h

0 0.7

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