材料力学 简单的超静定问题答案

6-1 试作图示等直杆的轴力图。

解：取消A端的多余约束，以 用下杆产生缩短变形。

代之，则 （伸长），在外力作

因为固定端不能移动，故变形协调条件为：

故

故 返回

6-2 图示支架承受荷载 各杆由同一材料制成，其横截面面积分

和

。

别为 ， 试求各杆的轴力。

解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至 此时各杆的变形 及 如图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。

。

即： 亦即：

将 得：

， ， 代入，

即：

亦即：

（1）

此即补充方程。与上述变形对应的内力 衡条件有：

如图所示。根据节点A的平

；

亦即：

（2）

；

亦即： （3）

，

联解（1）、（2）、（3）三式得：

（拉）

（拉）

（压）

返回

6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以

，在F力作用下：

变形协调条件：

补充方程：

求解上述三个方程得：

返回

6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知 ，两根钢杆的横截面面

积 解：

又由变形几何关系得知：

，试求两杆的轴力和应力。 ，

（1）

， （2）

联解式（1），（2），得

故

，

，

返回

6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力 性模量

；木材的许用应力

。

，弹性模量

，弹。

试求短木柱的许可荷载

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：

（1）

由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2）

由物理关系：

（3）

式（3）代入式（2），得

（4）

解得：

代入式（1），得： （2）许可载荷 由角钢强度条件

由木柱强度条件：

故许可载荷为： 返回

6-6(6-9) 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离

。已知上、

下两段杆的横截面面积分别为 和 ，材料的弹性模量

。试作图示荷载作用下杆的轴力图。

解：变形协调条件

故 故 返回

，

6-7(6-10) 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为 ，线膨胀系数

℃-1。试求当温度升高

部分产生的应力。 解：设轴力为

，总伸长为零，故

℃后，该杆各

= =

返回

6-8(6-11) 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩 若

，试求固定端的支反力偶矩

，并作扭矩图。

。

解：解除B端多余约束

即

，则变形协调条件为

故：

即：

解得： 由于

故 返回

6-9(6-13) 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个 角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和杆B的极惯性矩分别为

；两杆的材料相同，其切变模量为G。

解：解除Ⅱ端约束

，则Ⅱ端相对于截面C转了

角，（因为事先将杆B的=0

C端扭了一个 角），故变形协调条件为

故：

故：

为：

故连接处截面C，相对于固定端Ⅱ的扭转角

=

为：

而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角

=

应变能

=

= 返回

6-10(6-15) 试求图示各超静定梁的支反力。

解（a）：原梁AB是超静定的，当去掉多余的约束铰支座B时，得到可静定求解的基本系统（图i

）

去掉多余约束而代之以反力 则得

，并根据原来约束条件，令B点的挠度 ，

到原超静定梁的相当系统（图ii）。利用 的位移条件，得补充方程：

由此得：

，

为：

由静力平衡，求得支反力

剪力图、弯矩图分别如图（iii），（iv）所示。梁的挠曲线形状如图（v）所

示。这里遵循这样几个原则： （1）固定端截面挠度，转角均为零； （2）铰支座处截面挠度为零；

（3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸； （4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。 （b）解：由相当系统（图ii）中的位移条件

，得补充方程式：

因此得支反力：

：

根据静力平衡，求得支反力

,

剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。

（c）解：由于结构、荷载对称，因此得支反力

；

应用相当系统的位移条件

，得补充方程式：

注意到

，于是得：

=

剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。

其中：

若

截面的弯矩为零，则有：

整理： 解得： 返回

或

。

6-11(6-16) 荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为

解：令梁在连接处受力为

图（b）所示。梁AB 截面B的挠度为：

，则梁AB、CD受力如

梁CD 截面C的挠度为：

。

由于在铅垂方向截面B与C连成一体，因此有

将有关式子代入得：

变换成：

即：

解得每个梁在连接处受力： 返回

6-12(6-18) 图示结构中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI为常量。试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。

解：由EF为刚性杆得

即

图（b）：由对称性，

剪力图如图（c）所示，

弯矩图如图（d）所示，

返回

6-13(6-21) 梁AB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度 时，试确定梁的约束反力

。

解：当去掉梁的A端约束时，得一悬臂梁的基本系统（图a）。对去掉的约束代之以反力

和

，并限定A截面的位移：

。这样得到原结构

，与附录（Ⅳ）得补充式

的相当系统（图b）。利用位移条件， 方程如下：

（1）

（2）

由式（1）、（2）联解，得： 从静力平衡，进而求得反力

是：