13.4 课题学习 最短路径问题

八年级

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13.4 课题学习 最短路径问题

课件说明 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大 于第三边”)问题.

课件说明 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题.

引入新知

引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

探索新知问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？

BA l

探索新知精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗？

BA l

探索新知追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？

将A,B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线. · A· lB

探索新知追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？

(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；

探索新知追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？

(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小(如图). B AC l

探索新知问题2 如图，点A,B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2,如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB′的长度 相等？

探索新知问题2 如图，点A,B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的

什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？

探索新知问题2 如图，点A,B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求.·

C

l

B′

探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

·

A

·

B

C

l

B′

探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C,BC′=B′C′. · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′, C AC′+BC′ = AC′+B′C′. B′

探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

证明：在△AB′C′中， AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短.

·

A

·

B

C′ C

l

B′

探索新知追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′ +BC′?这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点(与点 · C 不重合)与A,B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC,就说明AC + C BC 最小. B′

探索新知追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ B

·

A

·

C′ C

l

B′

运用新知练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径. C 山

QP

河岸

A

大桥

B

运用新知基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ,线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为 一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R,使PR与QR 的和最 Q 河岸 山 小”. P A大桥

B