华中科技大学大学物理4章流体

第一篇力学

第4章流体运动简介 (理想流体)

张雁滨

第4章流体运动简介 The introduction of motion fluid一、理想流体的稳定流动

1

第1节理想流体的运动 The motion of ideal fluid1.理想流体(ideal fluid)流体:液体和气体，基本特征：没有一定的形状和具有流动性。理想模型

实际流体的特性: (1)黏性：阻碍流体运动的内摩擦力 (2)可压缩性：体积和密度随压强变化2.稳定流动 (steady flow)研究方法拉格朗日法欧拉法

理想流体：绝对不可压缩的、完全没有黏性 (或内摩擦力)的流体。

拉格朗日：质点系法，用拉格朗日变数(对连续介质中无穷多个质点编号)来定义位移矢量。欧拉：流场法，描述流体运动在空间、时间的速度、加速度密度等物理量的时间历程分布，矢量场。 (1)流速场流体空间中每一点(x, y, z)上有一个速度矢量 v(x, y, z),它们构成一个流速场。如以分布的点形成场对城市交通流量的监测 (2)稳定流动流体在流动时,流体粒子顺序到达空间任一点,而在这一点的速度大小和方向不随时间而改变。

稳定流动时,流速场的空间分布不随时间变化。两个重要概念：流线和流管 2

(3)流线 (Stream line)

3

流线：流体运动的形象描述。流速场的矢量线。 C vC vA vB A B

任意两条流线互不相交;稳定流动时,流线的分布不随时间改变;流线与轨迹的概念不同流线是来自场，轨迹来自对质点的分析。

流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描述。流线的疏密能反映流速的大小 S大小 v小大

4

说明流线稀流线密

匀速场

(4)流管(tube of flow )

5

在流场中取一条不与流线重合的封闭曲线，在同一时刻过曲线上的每一点作流线，无数流线围成的管状曲面称为流管。①流管同样也是一种形象描述;②流管的形状在稳定流动时保持不变;?③稳定流动时,流管内外的流体彼此互不交换。

二、连续性方程(continuity equation)1.体积流量: V Sv t Q Sv t t平均流速

S v t体积流量守恒

单位时间通过任意横截面的流体体积。流量相等单位: m3/s 2.连续性方程: S1v1=S2v2或 Sv=C

不可压缩的流体作稳定流动时，流管的流量为常量。3.质量流量守恒不可压缩均匀流体 不变

S2, v2流管形状不变流进等于流出

S1v1= S2v2

S1, v1

6

4.分支流管的连续性方程 S1 v1 S3 v3 S2 v2

Q Sv C

在有分流汇入及流出的情况，连续方程只需作相应变化。

质量的总流入=质量的总流出

S1v1 S2v2 S3v3

7

三、伯努利方程及其应用 Bernoulli equation

8

1738年,英国科学家( Daniel Bernoulli

1700 --1782)利用力学中的功能原理,推导出理想流体在流动中的动力学方程——流体运动的基本规律。理想流体在重力场中作稳定流动时,在流体内同一流管任意点的压强、单位体积势能、单位体积动能满足:

1 2 p gh v constant 2或在流体中同一流管任意两截面处有： S 1

S2

1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2

推导依据:连续性方程和功能原理.

9

推导过程：当 t→0时假设与近似：

理想流体在重力场中作稳定流动

aa'处的截面积近似相等(S1)bb'处的截面积近似相等(S2)

aa'体积内的v1、p1不变,高度h1bb'体积内的v2、p2不变,高度h2

aa'和bb'体积相等 V1= V2= V,质量均为 m流管周围的流体对流体柱ab的力不做功(压力垂直)只有推力F1和阻力F2对流体柱做功F p. S A p. S .v t p V

10

A p V外力的合力所作的总功A:体积相等，密度 A ( p1 p2 ) V相等，质量相等动能 Ek和势能 Ep的变化： 1 1 2 E k mv 2 mv 12 2 2

E p mgh2 mgh1A Ek E p

由功能原理(work-energy theory)1 1 2 p1 V mgh1 mv 1 p2 V mgh2 mv 22 2 2 1 2 1 2 m p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2 V 1 2伯努利方程——— p gh v C 11 2

12伯努利方程(Bernoulli’s equation)理想流体作稳定流动时，同一流管的不同截面积处的压强、流体单位体积的势能与单位体积的动能之和都是相等的。理想流体：不可压缩没有黏性、稳定流动对细流管，p, v, h,是均值，在 t内是常数 1 2方程中各个物理量的单位 p gh v C 2 N m p: Pa 2 kg 2 /m 2 m s 静压强 kg m m 2 gh: 3 2 m kg 2 /m Pam s s

1 2 kg m m 2 v: 3 kg 2 /m Pa 2 m s s 2

动压强

适用条件：理想流体做稳定流动;分支管道的伯努利方程:? S1

1 2 p gh v C 2

同一流管的不同截面积处或同一流线的不同点; S2 v1

v2

1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2 1 2 1 2 p1 v1 gh1 p3 v3 gh3 2 2

S3

v3

13

特殊情况下方程的简化1)不均匀水平管, h1=h2=h 1 2 1 2 p1 v1 p2 v2 2 2

1 2 p gh v C 2

2)均匀管, S1=S2, v1= v2= v竖直:水平:

p1 gh1 p2 gh2

p, h, v均为常量

3)若某处与大气相通,则该处的压强为大气压 p0 14

伯努利方程的应用1.空吸 ( suction )

151 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2 1 2 1 2 p1 v1 p2 v2 2 2

水平管: h1=h2=h S1v1= S2v2

S 2< S1

v2> v1P2< p1 p2< p0空吸

作用

实例1:喷雾器

实例2:水流抽气机

16 2.小孔流速一个很大的开口容器,器壁上有一小孔,当容器内注入液体后,液体从小孔流出。设小孔距液面的高度是h,求液体从小孔流出的速度.任意选取一流线, A为流线上通过液面的一点, B为该流线通过小孔上的一点. S A S B v A 0 A 令:小孔处的高度为 hB=0

点A处有: hA=h, vA=0,

pA=p0

点B处有: hB=0, pB=p0, vB=? 1 1 2 2 B pA v A ghA pB v B ghB 2 2 1 2 v B 2 gh gh v B 2

例1一圆形开口容器,高0.7 m,截面积6×10 2m2.贮满清水,若容器底有一小孔1cm2,问该容器中水流完需要多少时间？解:已知 hA=0.7 m, SA= 6×10 2 m2, SB= 10 4 m2.随着水的流出,水位不断下降,流速逐渐减小,根据小孔流速规律知在B处水的流速为: vB 2 ghSA=6 10 2 m2

hA=0.7 m

该处厚度为dh的薄层从小孔流出时间为:

V Q Sv thA

S Adh S Adh dt S Bv B S B 2 gh

SB=1 cm2

整个水箱的水流尽所需时间为0.7 6 10 2 dh 6 102 S Adh 0.7 t 0 10 4 2 9.8 h 19.6 2 h 0 227 (s) 0 S B 2 gh

17