线性代数B-4.3 相似矩阵-交通物流地理

线性代数§4.3 相似矩阵

§4 3 相似矩阵矩阵之间的一种特殊的等价关系——相似 一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的简单性质 三、方阵与对角阵相似的条件 (两个充要条件、一个充分条件)

一、相似矩阵的概念 相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P 1AP B

则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵 对 A 进行 P 1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 矩阵等价 m n矩阵A与B等价 A经过有限次的初等变换化为B; 存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQ B

一、相似矩阵的概念 相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P 1AP B

则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵 对 A 进行 P 1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 相似满足下列性质 ( 1) 自反性 A与A相似 E 1AE A ( 2) 对称性 若A与B相似 则B与A相似 P 1AP B => A PBP 1 ( 3) 传递性 若A与B相似 B与C相似 则A与C相似

二、相似矩阵的简单性质 设A B都是n阶矩阵 如P 1AP B , 则A PBP 1 ,于是 Ak (PBP 1 )k PBP 1 PBP 1 …PBP 1 k 1 k

PBkP 1 . k n

k个k 2

若B为对角矩阵 , 有

利用对角矩阵 计算矩阵的高次幂

若可逆矩阵P使P 1 AP 为对角矩阵, 则方阵A与对角阵∧相似

Ak P k P 1 .

二、相似矩阵的简单性质性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. (课本定理1) 推论若n阶矩阵A与对角矩阵 diag( 1 2 n)相似 则 1 2 n即是A的n个特征值

二、相似矩阵的简单性质性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. 证 因此 |B E| |P 1AP E| |P 1AP P 1( E)P| |P 1(A E)P| |P 1| |A E| |P| |A E| 即A与B有相同的特征多项式 设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P 1AP B

|P 1| |P|=1

二、相似矩阵的简单性质性质2 相似矩阵的秩相等. (等价矩阵的秩相等.) 性质3 相似矩阵的行列式相等. (如n阶方阵A和B相似，则P 1AP B , 即|P 1AP| |P 1| |A| |P| =|B |,故|A| =|B |.) 性质4 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的 逆矩阵也相似。 如n阶方阵A和B相似，则P 1AP B ,

由性质3知 |A| =|B |,故如果|A| ≠0,则|B| ≠0, 即B 1= (P 1AP) 1= P 1A 1 (P 1 ) 1 = P 1A 1 P ,

即A 1和B 1相似.

三、方阵与对角阵相似的条件定理2(充分必要条件) n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 推论(充分条件) 若n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 定理3(充分必要条件) n 阶矩阵 A 与对角阵相似 ( 即A 能对角化) 的充分必要条件是 对于 A 的每个特征值 i , 有 i 作为特征值的重数等于对应于 i 的线性无关的特征向量的个数 或 i作为特征值的重数等于 n-r(A- i E).定理3描述 n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为矩阵A每个特征值的 线性无关的特征向量的个数恰好等于特征值的重数.

情况1: 如果n阶矩阵A求得n个互不相等的特征值，则将n个特征值 代入矩阵A对应的齐次线性方程组,所得到的特征向量所构 成的n阶矩阵P就是使得A与对角阵相似的可逆矩阵P 情况2: 如果n阶矩阵A求得的特征值中存在重根，如果每个特征值 的线性无关的特征向量的个数等于特征值的重数，则矩阵A 也可以与对角阵相似，所有线性无关的特征向量构成矩阵P 就是要求的可逆矩阵P 如果每个特征值的线性无关的特征向量的个数小于特征值 的重数，则矩阵A不能进行对角化.

2 1 1 补充例1讨论A 0 2 0 能否对角化?若能,把它对角化. 4 1 3 解 A的特征多项式为 2 1 1 | A E | 0 2 0 ( 1)( 2)2 4 1 3 所以A的特征值为 1 1 2 3 2 对于 1 1 解方程(A E)x 0 得基础解系p1 (1 0 1)T 对于 2 3 2 解方程(A 2E)x 0 得基础解系 p2 (0 1 1)T p3 (1 0 4)T 于是p1 , p2 , p3线性无关,故A能够对角化. 取P=(p1 p2 p3) 则P-1AP= 1 2 . 2

0 0 1 补充例2 设 A 1 1 x 问x为何值时 矩阵A能对角化？ 1 0 0 0 1 解 | A E | 1 1 x ( 1)2 ( 1) 1 0 得 1 1 2 3 1 矩阵A可对角化的充要条件是 对应重根 2 3 1 有特征值1的重数2等于n-r=3-r(A 1×E) 1 0 1 r 1 0 1 因为 A E 1 0 x ~ 0 0 x 1 由 1 0 1 0 0 0 所以当x 1时 r(A E) 1 此时矩阵A能对角化

0 练习题 判断矩阵A 0 1 解 1 )求特征值. 0 令 E A 0 1 1 0

0 1 1 0 能否对角化，若能，求出矩阵A的相似对角阵. 0 0 1 0 ( 1) 2 ( 1) 0,

则 1 2 1, 3 1

1 0 1 x1 0 把 1 1代入( E A) x 0得 0 0 0

x2 0 1 0 1 x 0 3 求得基础解系为 1 (1,0,1)T , 2 (1,1,0)T . 1 0 1 x1 0 T 把 3 1代入( E A) x 0得 0 2 0 x2 0 , 求得基础解系为 3 ( 1,0,1) . 1 0 1 x 0 3 0 1 1 1 1 令P ( 1, 2 , 3 ) 0 1 0 ,则P 1 AP 1 . 1 0 1 0 1

2)求特征向量.

考试注意事项： 1:分清行列式和矩阵的表示法； 2:分清是相等关系？还是等价关系？注意等 号的使用还是->的使用； 3:大题必须要有详细的解题步骤。 4:认真掌握各类运算规律和性质、定理.

练习P123:5(2),

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0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 r2 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x1 x4 , x4是自由未知量) x2 x4 ( x x 4 3

0 0 1 0

0 1 0 r 1 r2 1 r 1 *( 1) 0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 1 1 0

练习P123:10