《微积分初步》解应用题的辅导

　 《微积分初步》解应用题的辅导

一．本课程考核的应用主要是导数的应用，求最值。题型以几何应用为主。 求最值问题的解题步骤：

　　　（1）列出目标函数；

　　　（2）对目标函数求导，令目标函数的导数等于0，求出驻点；

　　　（3）若驻点唯一，再判定该驻点为极值点；

（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。

　二．典型例题

　　例1．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。

　　分析：本题是要求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大，设矩形的边长分别为（厘米），且以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则该圆柱体的体积为　　再由已知条件，，即，代入即得

　　圆柱体的体积为

　　所以我们的问题就是求 为多少时，可使取得最大值。

　　解：设矩形的边长分别为（厘米），则有

若矩形以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则圆柱体的体积为。

　　求导得

令得 舍去）

　　 ，

　　说明是极大值点，故当 厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。

　　例2欲用围墙围成面积为216平方米的一个矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？

　　分析：这是一个求用料最省的问题。用料最省实际上就是所建的围墙长度最短，当然是在围墙围成面积为216平方米的约束条件下，所要建的围墙如图，

设土地一边长为，另一边长为，所建的围墙长度为，由约束条件 ，

　　于是

　　这样此题就转化为求边长为为多少时，函数的最小值问题。

　　解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为

　　 于是

　　令得到唯一驻点（舍去）

　　因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省。

　　例3某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？

　解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为

由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分

别为与时，用料最省．

　例4欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省．

例5用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有

所以

　　令，得，

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元）