高等数学李伟版课后习题答案第三章(3)

解：因为f (x) 4x3 3x2 2x 1，f (x) 12x2 6x 2，f (x) 24x 6， f(4)(x) 24，更高阶导数都为零，于是f(1) 5，f (1) 10，f (1) 20，

f (1) 30，f(4)(0) 24，将其带入到

f (1)f (1)f(4)(1)23

f(x) f(1) f (1)(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)4 R4(x)中，

2!3!4!

得 f(x) 5 10(x 1) 10(x 1) 5(x 1) (x 1)

2

3

4

f(5)( )

(x 1)5恒为零）（其中R4(x) ． 5!

4．将函数f(x)

x

在x 1点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式． x 1

116 2

，则f (x) ，，， f(x) f(x) 234

x 1(x 1)(x 1)(x 1)

解：因为f(x) 1

1113

，f (1) ，f (0) ，f (1) ，将其带入到 2448

f (1)f (1)

f(x) f(1) f (1)(x 1) (x 1)2 (x 1)3 o((x 1)3)中，得

2!3!

于是f(1)

x1x 1(x 1)2(x 1)3

o((x 1)3)． 1 x24816

5．写出函数f(x) xe的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式．

x

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解：因为f 于是，f

(k)

2，3， ，n，n 1）（参见习题2.5（B）3）， (x) ex(x k)（k 1，

(k)

f(n 1)( x)n 1(n 1 x)e xn 1

1，2， ，n），Rn(x) x x，(0) k（k 0，

(n 1)!(n 1)!

f (0)2f(n)(0)n

x x Rn(x)，得 将其带入到f(x) f(0) f (0)x 2!n!

x3xn(n 1 x)e xn 1

xe x x x (0 1)．

2!(n 1)!(n 1)!

x

2

6．将函数f(x)

(k)

1

按(x 1)的乘幂展开为带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式． x

解：因为f

( 1)kk!(k)

1，2，3， ，n，n 1）(x) ，于是， f( 1) k!（k 0，k 1

x

f(n 1)( )( 1)n 1(n 1)!( 1)n 1n 1n 1n 1

，将其代入到中Rn(x) (x 1) (x 1) (x 1)n 2n 2

(n 1)!(n 1)!

f ( 1)f(n)( 1)2

f(x) f( 1) f ( 1)(x 1) (x 1) (x 1)n Rn(x)，得

2!n!

1( 1)n 1(x 1)n 12n

（ 介于 1与x之间）． 1 (x 1) (x 1) (x 1) n 2

x

习题3—3（B）

1．为了修建跨越沙漠的高速公路，测量员测量海拔高度差时，必须考虑地球是一个球体而表面不是水平，从而对测量的结果加以修正．

（1）如果R表示地球的半径，L是高速公路的长度．证明修正量为 C Rsec(2)利用泰勒公式证明

L

R． R

L25L4

C ． 2R24R3

（3）当高速公路长100公里时，比较（1）和（2）

中两个修正量（地球半径取6370公里）． 证明：（1）由L R ，有

LR

，又在直角三角形ODB中，cos ，于是 RR C

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1 se sec

L

RCL

，由此得C Rsec R． RR

（2）先将f(x) secx展开为4阶麦克劳林公式，为此求得f (x) secxtanx，

23

f (x) secxtanx secx，f (x) secxtan3x 5sec3xtanx，

(4)

25

(x) secxtan4x 18secx3tanx 5secx，

(4)

f

f(0) 1，f (0) 0，f (0) 1，f (0) 0，f secx 1

于是 (0) 5，

1254154

x x R4(x)；当x 1时，secx 1 x2 x， 224224

LLLL25L4L25L4

取x ，得sec 1 ，于是C Rsec R ． 324

RRR2R24R2R24R

（3）按公式C Rsec

L

R计算，得修正量为C(1) 0.785010135， R

L25L4

按公式C 计算，得修正量为C(2) 0.785009957， 32R24R

它们相差大约为C(1) C(2) 0.000000178．

2．写出函数f(x) e

t

1

x2

2

的带佩亚诺型余项的2n阶麦克劳林公式．

t2t3tnx2n

o(t)，令t 解：由e 1 t ，得 2!3!n!2

e

1

x2

2

ee

x22

2n

x2x4x6x2nnx e[1 2 3 ( 1)n o(n)] 2 2!2 4!2 6!2 n!22nx2x4x6nx e[1 ( 1)] o(x2n)， 2!!4!!6!!(2n)!!

按规律，由于x

2n

项的后一项为x

2

2n 2

，所以余项也可以用o(x

2n 1

)．

3．写出函数f(x) sinx的带皮亚诺型余项的2m阶麦克劳林公式． 解：sinx

2

11

cos2x 22

11(2x)2(2x)4(2x)6( 1)n(2x)2m

[1 o(22mx2m)

222!4!6!(2m)!

1426( 1)m 122m 12m x x x x o(x2m)，

345(2m)!

2

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同上一题，余项也可以用o(x2m 1)．

（注意：像2、3题用变量代换写泰勒公式的方法只使用于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适用带有拉格朗日型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗日型余项） 4．应用三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： （1）； （2）sin18． 解：（1）取函数f(x) x，展开为三阶麦克劳林公式，有

234

xx5x10x

f(x) x 1 ，

51139813 (1 x)

30 27 3 3 1/9，现取x 1/9，30 3(1

误差为R3

115

)， 2772959049

10 5

1.89 10， 44

3 9115

3(1 ) 3(1 0.037037 0.001372 0.000085) 3.10725；

2772959049

（2）用sinx的麦克劳林公式，取x 18 sin18

10

，得

1 3cos( x) 5 1 3() ()，则sin18 ()，

103!105!10103!10

1 5 5

误差为R3 () 2.55 10

5!10

sin18 0.31416 0.00517 0.30899 0.3090．

5．利用泰勒公式求下列极限：

exsinx x(1 x)cosx e x/2 x4/12

（1）lim； （2）lim． 26x 0x 0xsinxxx2x4x6x2x4x66

[1 o(x)] [1 3 o(x6)] x4/12

2246!28解：（1）原式 lim 6x 0x

2

7x6/360 o(x6)7

lim．

x 0360x6

[1 x x2/2 o(x2)][x x3/6 o(x3)] x x2

（2）原式 lim 3x 0xx3/3 o(x3)1

． lim

x 03x3

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6．设函数f(x)在区间[a，b]上有二阶连续导数，证明：有 (a，b)使得

a b(b a)2

f(a) f(b) 2f() f ( )．

24

a b

点展开为一阶泰勒公式， 有 2

f ( )

(x x0)2.（ 介于x与x0之间） f(x) f(x0) f(x0)(x x0)

2!

证明：将函数y f(x)在x0 分别用x a、x b代入上式，得 f(a) f(x0) f (x0)(a x0)

f ( 1)

(a x0)2 2!

a ba ba ba bf ( 1)(a b)2

) f () f(（a 1 ），

22222!4

f(b) f(x0) f (x0)(b x0)

f ( 2)

(b x0)2 2!

a ba ba bb af ( 2)(b a)2

2 b）) f () f(（， 22222!4

a b(b a)2f ( 1) f ( 2)

) []， 上两式相加，得f(a) f(b) 2f(242

由f (x)连续，根据习题1-7（B）4，得

f ( 1) f ( 2)

f ( )（ (a，b)），

2

a b(b a)2

) f ( )， 于是，f(a) f(b) …… 此处隐藏：2973字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……