高等数学李伟版课后习题答案第三章(2)

高数,天津科技大学,课后习题答案,李伟版。

区间(0，a)内至少存在一点 ，使得f( ) f ( ) 0．

证明：设函数F(x) xf(x)（x [0，，则F(0) 0，F(a) 0，再根据已知，函数F(x)a]）

在区间[0,a]满足罗尔定理，则有 (0，a)，使得f ( ) 0．

而f ( ) f( ) f ( )，于是f( ) f ( ) 0．

所以，在开区间(0，a)内至少存在一点 ，使得f( ) f ( ) 0．

习题3—2（A）

1．判断下列叙述是否正确？并说明理由

（1）洛必达法则是利用函数的柯西中值定理得到的，因此不能利用洛必达法则直接求数列

极限； （2）凡属“

0

”，“”型不定式，都可以用洛必达法则来求其的极限值； 0

“0 ”，“ ”，“0”，“1”，“ ”（3）型如型的不定式，要想用洛必达

法则，需先通过变形．比如“0 ”型要变型成为“

0

“ ”，“00”，”，“”型，

0

“1 ”，“ 0”型要先通过变型，转化为“0 ”型的不定式，然后再化为基本类型.

答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限

使用洛必达法则，首先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使用洛必达法则．

1

0sinx x x2 1（型） （2）不正确．如lim（型）、lim、lim 1 0

x x x 00cosx x xsinx

（型）都不能用洛比达法则求得极限值．

x2sin

（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“ ”型通常是直接化为“

0 ”，“”型． 0

2．用洛必达法则求下列极限：

lnx 1xm 1

（1）lim； （2）limn（mn 0）；

x ee xx 1x 1

（3）lim

x

sin3x1 cosx

； （4）limx； xx 0tan5xe e 2

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（5）lim

2xtanxtanx

； （6）lim；

x 0secx 1x /2tan3x

x

（7）limxcot2x； （8）limxarccotx；

x 0

（9）lim(

x 0

1111

)； （10）lim( )；

x 1lnxxsinxx 1

tanx

x（11）lim

x 0

； （12）lim(x)

x

1

1

ln(1 x)

；

（13）lim(cosx)x； （14）lim

x 0

n

2

lnnn

；

解：（1）lim

lnx 11/x1

lim ．

x ee xx e 1e

xm 1mxm 1m

limn 1 ． （2）limn

x 1x 1x 1nxn

（3）lim

x

3sin3x3cos3x 3

． lim 22x 5tan5x5sec5x5 ( 1)

（4）lim

1 cosxsinxcosx1

lim lim ．

x 0ex e x 2x 0ex e xx 0ex e x2

2xtanx2x24x4x

lim lim lim 4． （5）lim

x 0secx 1x 0secx 1x 0secxtanxx 0tanx

tanxsinxcos3xcos3x 3sin3x

lim( ) lim lim 3．

x /2tan3xx /2sin3xx /2cosxx /2 sinxcosx

x11

lim （7）limxcot2x lim．

x 0x 0tan2xx 02sec22x2

(6) lim

arccotx 1/(1 x2)x2

lim lim 1． （8）limxarccotx lim22x x x x 1/x 1/x1 x

（9）lim(

x 0

11sinx xsinx xcosx 1 sinx

) lim lim lim lim 0．

x 0xsinxx 0x 0x 0xsinx2x2x2

（10）lim(

x 1

11x 1 lnx1 1/x ) lim lim

x 1x 1lnxx 1(x 1)lnxlnx (x 1)/x

lim

x 1

x 111

lim ．

xlnx x 1x 1lnx 22

（11）设y x

tanx

，则lny tanxlnx，因为

x 0

limlny limtanxlnx limxlnx lim

x 0

x 0

x 0

tanx

x 0

lnx1/x

lim limx 0， 2

x 0x 01/x 1/x

x所以， lim

e0 1．

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（12）设y (x)

1ln(1 x)

，则lny

lnx1lnx

，因为

ln(1 x)2ln(1 x)

x

limlny

1lnx11/x111lim lim lim(1 ) ，所以 2x ln(1 x)2x 1/(1 x)2x x2

e

1

1

2

x

lim(x)

1ln(1 x)

e．

lncosx

，因为 x2

1

1

（13）设y (cosx)x，则lny

2

lncosx sinx11x22

limlny lim lim lim(cosx) e ，所以． 2x 0x 0x 0x 02xcosx2xe

（14）根据海涅定理，lim

n

lnnn

lim

lnxx

x

lim

1/x1/2x

x

lim

2x

x

0．

3．验证极限lim解：lim

2x sinx

存在，并说明不能用洛必达法则求得．

x x 2cosx

2x sinx2 (sinx)/x2 0

lim 2．

x x 2cosxx 1 (2cosx)/x1 0

(2x sinx) 2 cosx

lim不存在，因为此极限不能用洛必达法则求得．

x (x 2cosx) x 1 2sinx

因为极限lim

x2sin(1/x)

4．验证极限lim存在，并说明不能用洛必达法则求得．

x 0sinxx2sin(1/x)x1

lim limxsin 1 0 0． 解：lim

x 0x 0sinxx 0sinxx

[x2sin(1/x)] 2xsin(1/x) sin(1/x)因为极限lim不存在，因为此极限不能用 lim

x 0x 0(sinx) cosx

洛必达法则求得．

习题3—2（B）

1．用洛必达法则求下列极限：

2arctanx ln

（1）lim

x 0

x3

1 x

； （2）limx arcsinx

x 0sin3x

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（3）lim(

x 0

111x

)limx[(1 ) e]； ； （4）

x xx2tan2x

6

a bnsinxx2

(5) lim(． )（a 0，b 0）)； （6）lim(

n x 02x

解：（1）原式 lim

2arctanx ln(1 x) ln(1 x)

x 0x3

211

2

lim 4 4． limx 0x 03(1 x4)3x23

x arcsinx1 1/ x2 x2 1

lim lim（2）原式 lim

22x 0x 0x 0x33x23x x

1 x2 1 x2/2

． lim lim 22x 0x 063x3x

tan2x x2tanx xtanx x

lim lim（3）原式 lim2 3x 0xtan2xx 0x 0xx

tanx xsec2x 12tan2x2

2lim 2lim lim2 ． 32x 0x 033x 0xx3x

(1 t) et (1 t)ln(1 t)1

lim(1 t)t（4）令x ，则原式lim 2t 0t 0ttt

t (1 t)ln(1 t)1 ln(1 t) 1eln(1 t)e elim elim lim ．

t 0t 02t2t 0t2t2

sinx

66lnsinxx，因为 （5）令y ()，则lny

xx2

6x/sinxxcosx sinxxcosx sinx

limlny lim( ) 3lim 23x 0x 0x 02xxx

xsinx1sinxx 1 3lim 1，所以． lim() e 2x 0x 0e3xx

1a n

)，则lnxn na b) ln2]，再令t ，因为 （6）令xn (

x2

1

t

1

6

ln(at bt) ln2

limlnxn limx[ln(a b) ln2] lim n x t …… 此处隐藏：2875字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……