高等数学李伟版课后习题答案第三章

高数,天津科技大学,课后习题答案,李伟版。

习题3—1（A）

1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：

（1）函数的极值与最值是不同的，最值一定是极值，但极值未必是最值； （2）函数的图形在极值点处一定存在着水平的切线；

（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以用来判断函数是否存在零点，二者没有差别； （4）虽然拉格朗日中值公式是一个等式，但将f ( )进行放大或缩小就可以用拉格朗日中

值公式证明不等式，不过这类不等式中一定要含（或隐含）有某函数的两个值的差． 答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值

不一定是极值；而极值未必是最值这是显然的．

（2）不正确．例如y x2在x 0点处取极值，但是曲线在点(0， 0)却没有水平切线． （3）不正确．前者是判断f(x)是否有零点的，后者是判断f (x)是否有零点的． （4）正确．一类是明显含有f(b) f(a)的；另一类是暗含着f(x) f(x0)的． 2．验证函数y e(1 x)在区间[0，2]上满足罗尔定理，并求出定理中的 ．

解：显然y e(1 x)在闭区间[0，2]上连续，在开区间(0，2)内可导，且y(0) y(2) e，

于是函数y e

(1 x)2

2

2

在区间[0，2]上满足罗尔定理的条件，

2

2

(0， y (x) 2(1 x)e(1 x)，由y ( ) 0，有 2(1 )e(1 ) 0，得 1，2)，

所以定理的结论也成立．

3．验证函数y 3x2 2x 1在区间[ 1 ，1]上满足拉格朗日中值定理，并求出公式中的 ．解：显然y 3x2 2x 1在闭区间[ 11)内可导，于是函数，1]连续，在开区间( 1，

y 3x2 2x 1在区间[ 1，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，

y(1) y( 1)y(1) y( 1)

y (x) 6x 2 2， y ( )，由有6 2 2，得 0，

1 ( 1)1 ( 1)

( 1，1)，所以定理的结论也成立．

4．对函数f(x) x cosx、g(x) cosx在区间[0]上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的 ．

2

高数,天津科技大学,课后习题答案,李伟版。

解：显然函数f(x) x cosx、g(x) cosx在闭区间[0，]上连续，

在开区间(0) 内可导，且f (x) 1 sinx，g (x) sinx， 在区间(0，)内g (x) 0，

于是函数f(x) x cosx、g(x) cosx在区间[0]上满足柯西定理的条件，

2

2

2

2

又

f( /2) f(0) f( /2) f(0)f ( )

， 1 ，由

g( /2) g(0)2g( /2) g(0)g ( )

有1

2

1 sin

，

sin 2

即sin

，

由于 (0，)，得 arcsin

2

2

，所以定理的结论也成立．

)内证明arctanx arccotx恒为常数，并验证arctanx arccotx 5．在( ，

证明：设f(x) arctanx arccotx，

2

．

)内可导， 显然f(x)在( ，

且f (x)

11

0， 22

1 x1 x

)内arctanx arccotx恒为常数， 由拉格朗日定理的推论，得在( ，

设f(x) C，用x 0代入，得C

2

，所以arctanx arccotx

2

．

2

6．不求出函数f(x) x(x 4)的导数，说明f (x) 0有几个实根，并指出所在区间．

2

解：显然f(x) x(x 4)有三个零点x 0，x 2，

用这三点作两个区间[ 2，0]上f(x)连续，在开区间0]、[0，2]，在闭区间[ 2，

( 2，0)内f(x)可导，

又f( 2) f(0) 0于是f(x)在[ 2，0]满足罗尔定理，所以至少有 1 ( 2，0)，使得f ( 1) 0，

同理至少有 2 (0，2)，使得f ( 2) 0，所以f (x) 0至少有两个实根．

高数,天津科技大学,课后习题答案,李伟版。

又因为f(x)是三次多项式，有f (x)时二次多项式，于是f (x) 0是二次代数方程，由代数基本定理，得f (x) 0至多有两个实根．

综上，f (x) 0恰有两个实根，且分别位于区间( 2，0)与(0，2)内．

7．证明下列不等式：

（1） 对任何实数a，b，证明cosa cosb a b； （2） 当x 0时，

x

ln(1 x) x． 1 x

证明：（1）当a b时，cosa cosb a b显然成立．

当a b时，取函数f(x) cosx， 显然f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开间

(a，b)内可导，

由拉格朗日定理，有 (a，b)，使得f(a) f(b) f ( )(a b)， 即cosa cosb sin (a b)，

所以cosa cosb sin (a b) (a b)．

当a b时，只要将上面的区间[a，b]换为[b，a]，不等式依然成立． 所以，对任何实数a，b，都有cosa cosb a b．

1 t)，当x 0时，函数f(t) ln(1 t)在闭区间[0，x]上连续， （2）取函数f(t) ln(

在开区间(0，x)内可导，根据拉格朗日定理，有 (0，x)，使得f ( )

x

． 1

因为0 x，则

xxxx

ln(1 x) x． x，所以1 x1 x1 1 0

8．若函数f(x)在区间(a,b)具有二阶导数，且f(x1) f(x2) f(x3)，其中a x1 x2

x3 b，证明在区间(x1,x3)内至少有一点 ，使得f ( ) 0．

证明：根据已知，函数f(x)在区间[x1，x2]及[x2，x3]上满足罗尔定理，

高数,天津科技大学,课后习题答案,李伟版。

于是有 1 (x1，x2)， 2 (x2，x3)（其中 1 2），所得f ( 1) 0，f ( 2) 0． 再根据已知及f ( 1) f ( 2)，函数f (x)在区间[ 1， 2]上满足罗尔定理，

所以有 ( 1， 2) (x1,x3)，所得f ( ) 0，即在区间(x1,x3)内至少有一点 ，使得f ( ) 0．

习题3—1（B）

1．在2004年北京国际马拉松比赛中，我国运动员以2小时19分26秒的成绩夺得了女子组冠军．试用微分中值定理说明她在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h（马拉松比赛距离全长为42.195km）．

解：设该运动员在时刻t时跑了s s(t)（km），此刻才速度为v v(t) s (t)（km/h），为

解决问题的需要，假定s(t)有连续导数．设起跑时t 0，到达终点时t t0，则，对函数s(t)在区间[0，t0]上用拉格朗日定理，有0 t0，t0 2.3238888889所得

s(t) s(0)s(t0) s(0)42.195

18.15706 km/h， s ( ) v( )，而0

t0 02.3238888889t0 0

所以v( ) 18.15706 18.157．

对v(t)在区间[0， ]及[ ，t0]上分别使用连续函数的介值定理（注意v(0) 0，

则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有 1 (0， )，v(t0) 0，

2 ( ，0)，使得v( 1) 18.157，v( 2) 18.157，这表明该运动员在比赛中至少

有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h．

（a，b）2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，且f (x) 0，证明方（a，b）程f(x) 0在开区间内至多有一个实根．

（a，b）证明：采用反证法，若方程f(x) 0在开区间有两个（或两个以上）不同的实根

x1 x2，即f(x1) f(x2) 0，根据已知函数f(x)在[x1，x2]上满足罗尔定理，于

（a，b）是有 (x1，x2) (a，b)，使得f ( ) 0，与在开区间内f (x) 0矛盾，（a，b）所以方程f(x) 0在开区间内至多有一个实根．

高数,天津科技大学,课后习题答案,李伟版。

（注：本题结论也适用于无穷区间） 3．证明方程x x 1 0只有一个正根．

证明：设f(x) x4 x 1（x ( ，，则f (x) 4x4 1 0，根据上题结果， )）

方程x x 1 0在( ， )内至多 …… 此处隐藏：3252字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……